对于一般的 n 阶微分方程
z ( n ) = g ( x ; z , z ′ , ⋯ , z ( n − 1 ) ) z^{(n)}=g(x;z,z',\cdots,z^{(n-1)})
z ( n ) = g ( x ; z , z ′ , ⋯ , z ( n − 1 ) )
做变换
y 1 = z , y 2 = z ′ , ⋯ , y n = z ( n − 1 ) y_1=z,y_2=z',\cdots,y_n=z^{(n-1)}
y 1 = z , y 2 = z ′ , ⋯ , y n = z ( n − 1 )
则 n 阶微分方程变换为一阶微分方程组
{ y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = y 3 ⋯ y n ′ = g ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) \begin{cases}y_1'=y_2 \\y_2'=y_3 \\\cdots \\y_n'=g(x,y_1,y_2,\cdots,y_n)\end{cases}
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = y 3 ⋯ y n ′ = g ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n )
向量形式为
y ′ = g ( x ; y ) (1) \mathbf y'=\mathbf g(x;\mathbf y)\tag{1}
y ′ = g ( x ; y ) ( 1 )
其中
y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) , g ( x ; y ) = ( g 1 ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) g 2 ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ⋯ ⋯ g n ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ) \mathbf y=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix},\mathbf g(x;\mathbf y)=\begin{pmatrix}g_1(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \\g_2(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \\\cdots \quad \cdots \\g_n(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \\\end{pmatrix}
y = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ y 1 y 2 ⋮ y n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , g ( x ; y ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ g 1 ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) g 2 ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ⋯ ⋯ g n ( x , y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
在讨论方程组解的性态之前，先引入一些定理，由于定理的证明同一阶方程类似，就不在重复了。
y ( x 0 ) = y 0 \mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y_0}
y ( x 0 ) = y 0
利普希茨条件 ：存在常数 L > 0 L>0 L > 0 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y )
∥ g ( x ; y ~ ) − g ( x ; y ˉ ) ∥ ⩽ L ∥ y ~ − y ˉ ∥ \|\mathbf g(x;\mathbf{\tilde y})-\mathbf g(x;\mathbf{\bar y})\|⩽L\|\mathbf{\tilde y}-\mathbf{\bar y}\|
∥ g ( x ; y ~ ) − g ( x ; y ˉ ) ∥ ⩽ L ∥ y ~ − y ˉ ∥
本章关于范数的定义为 ∥ y ∥ = ∑ i = 1 n y i 2 \|\mathbf y\|=\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2} ∥ y ∥ = i = 1 ∑ n y i 2
局部李普希兹条件 ：向量函数 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y ) G G G G G G ( x 0 , y 0 ) (x_0,\mathbf y_0) ( x 0 , y 0 ) R ⊂ G R\sub G R ⊂ G g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y ) R R R y \mathbf y y
R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∥ y − y 0 ∥ ⩽ b R:|x-x_0|⩽a,\|\mathbf{y-y_0}\|⩽b
R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∥ y − y 0 ∥ ⩽ b
则称 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y ) G G G y \mathbf y y
解的存在唯一性定理 ：如果向量函数 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y )
R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∥ y − y 0 ∥ ⩽ b R:|x-x_0|⩽a,\|\mathbf{y-y_0}\|⩽b
R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∥ y − y 0 ∥ ⩽ b
内连续，且关于y \mathbf y y ∣ x − x 0 ∣ ⩽ h |x-x_0|⩽h ∣ x − x 0 ∣ ⩽ h y = φ ( x ; x 0 , y 0 ) \mathbf{y=\varphi}(x;x_0,\mathbf y_0) y = φ ( x ; x 0 , y 0 ) y 0 = φ ( x 0 ; x 0 , y 0 ) \mathbf{y_0=\varphi}(x_0;x_0,\mathbf y_0) y 0 = φ ( x 0 ; x 0 , y 0 )
h = min { a , b M } , M = max ( x , y ) ∈ R ∥ g ( x ; y ) ∥ h=\min\{a,\cfrac{b}{M}\},\displaystyle M=\max_{(x,\mathbf y)\in R}\|\mathbf g(x;\mathbf y)\|
h = min { a , M b } , M = ( x , y ) ∈ R max ∥ g ( x ; y ) ∥
解的延拓与连续性定理 ：如果向量函数 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y ) G G G y y y y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G \mathbf{y_0=\varphi}(x;x_0,\mathbf y_0) \quad (x_0,\mathbf y_0)\in G y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G + ∞ +\infty + ∞ − ∞ -\infty − ∞ ( x , φ ( x ; x 0 , y 0 ) ) (x,\mathbf{\varphi}(x;x_0,\mathbf y_0)) ( x , φ ( x ; x 0 , y 0 ) ) G G G y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G \mathbf{y_0=\varphi}(x;x_0,\mathbf y_0) \quad (x_0,\mathbf y_0)\in G y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G x , x 0 , y 0 x,x_0,\mathbf y_0 x , x 0 , y 0
解的可微性定理 ：如果向量函数 g ( x ; y ) \mathbf g(x;\mathbf y) g ( x ; y ) ∂ g i ∂ y j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) \cfrac{∂g_i}{∂y_j}\quad(i,j=1,2,\cdots,n) ∂ y j ∂ g i ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) G G G y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G \mathbf{y_0=\varphi}(x;x_0,\mathbf y_0) \quad (x_0,\mathbf y_0)\in G y 0 = φ ( x ; x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) ∈ G x , x 0 , y 0 x,x_0,\mathbf y_0 x , x 0 , y 0
方程组 y ′ = g ( x ; y ) \mathbf y'=\mathbf g(x;\mathbf y) y ′ = g ( x ; y ) x x x y ′ = g ( y ) \mathbf y'=\mathbf g(\mathbf y) y ′ = g ( y )
对于二阶微分方程组自治系统：
{ d x d t = f ( x , y ) d y d t = g ( x , y ) (2) \begin{cases}
\cfrac{dx}{dt}=f(x,y) \\
\cfrac{dy}{dt}=g(x,y)
\end{cases}\tag{2}
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ d t d x = f ( x , y ) d t d y = g ( x , y ) ( 2 )
对于自治系统，若f ( x 0 , y 0 ) = g ( x 0 , y 0 ) = 0 f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)=0 f ( x 0 , y 0 ) = g ( x 0 , y 0 ) = 0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) 平衡点 或者奇点 。t t t ( x , y ) (x,y) ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) g ( x , y ) g(x,y) g ( x , y ) 速度分量 ，称( x , y ) (x,y) ( x , y ) 相平面 ， 相平面上的点称为为相点。x = x ( t ) , y = y ( t ) x=x(t),y=y(t) x = x ( t ) , y = y ( t ) t , x , y t,x,y t , x , y 积分曲线 （解曲线）。积分曲线在相平面上的投影称为轨线 。
一阶常系数齐次线性自治系统
{ d x d t = a 11 x + a 12 y d y d t = a 21 x + a 22 y (3) \begin{cases}
\cfrac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y \\
\cfrac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y
\end{cases}\tag{3}
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ d t d x = a 1 1 x + a 1 2 y d t d y = a 2 1 x + a 2 2 y ( 3 )
系数矩阵 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) \mathbf A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} A = ( a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 ) ∣ λ E − A ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 a 21 a 22 − λ ∣ = 0 |\lambda\mathbf{E-A}|=\begin{vmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda
\end{vmatrix}=0 ∣ λ E − A ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 − λ a 2 1 a 1 2 a 2 2 − λ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 λ 2 + ( a 11 + a 22 ) λ + a 11 a 22 − a 12 a 21 \lambda^2+(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} λ 2 + ( a 1 1 + a 2 2 ) λ + a 1 1 a 2 2 − a 1 2 a 2 1
(1) λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ 1 , λ 2
(2) λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ 1 , λ 2 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ 1 , λ 2
(4) λ 1 = λ 2 > 0 \lambda_1=\lambda_2>0 λ 1 = λ 2 > 0 λ 1 = λ 2 < 0 \lambda_1=\lambda_2<0 λ 1 = λ 2 < 0
(5) λ 1 , λ 2 = α ± β i ( β ≠ 0 ) \lambda_1,\lambda_2=\alpha\pm\beta i\quad(\beta\neq0) λ 1 , λ 2 = α ± β i ( β = 0 ) α < 0 \alpha<0 α < 0 α > 0 \alpha>0 α > 0
常微分方程的“动力系统”（相空间）分析简介 相空间 、 相空间表述 (量子力学)什么是相空间？
*待更新*
Nonlinear systems
微分方程解析理论analytic theory of differential equation
定性理论qualitative theory
流动奇点movable singular point
相空间(Phase Space)
(boundary value problem)
参考文献：
Give me money!
