无穷级数

常数项级数的概念和性质

定义
(1) 数列 $\{a_n\}=a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 构成的表达式 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。其中第n项 $a_n$ 叫做级数的通项(general term)。
(2) 级数的前n项部分和(partial sum) $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$
(3) 对于级数 $\{a_n\}$ ，若其部分和数列 $\{S_n\}$ 有极限S，即 $\lim\limits_{n\to∞}S_n=S$ ，则称级数收敛(convergence)，S 称为该级数的和，记为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n=S$ ，若部分和数列 $\{S_n\}$ 没有极限，则称级数发散(divergence)。
(4) 当级数 $\{a_n\}$ 收敛，其部分和 $\{S_n\}$ 是级数和S的近似值，他们的差值 $r_n=S_n-S$ 叫做级数的余项(remainder)。

收敛级数基本性质
性质 1（级数收敛的必要条件）若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛，则有 $\lim\limits_{n\to∞}a_n=0$
性质 2 设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 分别收敛于 $A$ 和 $B$ ，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n± b_n)$ 也收敛，且其和为 $A± B$
性质 3 若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛于 $S$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}ka_n$ 收敛于 $kS$
性质 4 增加或减少级数中的有限项不改变原级数的收敛性，即级数的收敛性与前有限项无关
性质 5 设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛，则在不改变级数项前后位置的条件下，任意结合级数的有限项得到新级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a'_n$ ，则新级数也收敛，且和不变．
性质 6又称柯西审敛原理 (Cauchy’s convergence test)
级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛 $\iff ∀ ϵ>0,∃ N\in\N^+$ ，当 $n>N$ 时，对于 $∀ p\in\N^+$ ，都有 $|a_{n+1}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}|<ϵ$

常数项级数的审敛法

正项级数(series of positive terms)：若 $a_n>0$ ，则称级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 为正项级数。
正项级数的审敛法：设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n和\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 为正项级数
定理 1 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有界
定理 2 （比较判别法的不等式形式）若 $a_n⩽ b_n (n=1,2,\cdots)$ 则
(1) 当级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 收敛时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 也收敛
(2) 当级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 发散时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 也发散
定理 3 （比较判别法的极限形式）若 $\lim\limits_{n\to∞}\dfrac{a_n}{b_n}=l(0⩽ l ⩽+∞)$ ，则
(1) 当 $0<l<+∞$ 时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 有相同的敛散性
(2) 当 $l=0$ 时，如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 收敛，那么 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛
(3) 当 $l=+∞$ 时，如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 发散，那么 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 发散.
定理 4 （比值判别法，达朗贝尔判别法）若 $\lim\limits_{n\to∞}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ ，则
(1) 当 $0⩽ q<1$ 时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛
(2) 当 $q>1$ 时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 发散
定理 5 （根值判别法，柯西判别法）若 $\lim\limits_{n\to∞}\sqrt[n]{a_n}=q$ ，则
(1) 当 $0⩽ q<1$ 时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛
(2) 当 $q>1$ 时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 发散
定理 6 若正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|a_n|$ 收敛，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛，且 $|\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n|⩽ \displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|a_n|$

交错级数(alternating series)：正负项交错出现的级数
交错级数的审敛法
定理 7 （莱布尼兹判别法）对于交错级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(-1)^{n-1}a_n$ ，若满足
(1) $a_n⩾ a_{n+1}(n=1,2,\cdots)$
(2) $\lim\limits_{n\to∞}a_n=0$
则级数收敛，且其和 $S⩽ a_1$ ，余项的绝对值 $r_n⩽ a_{n+1}$

绝对收敛和条件收敛：若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|a_n|$ 收敛，则称级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 为绝对收敛(absolutely convergent)．若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 收敛，而级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|a_n|$ 发散，则称级数为条件收敛(conditionally convergent)．
定理 8 绝对收敛的级数一定收敛，反之则不然
定理 9 绝对收敛的级数经改变项的位置后构成的新级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛的级数具有可交换性）
定理 10（绝对收敛级数的乘积）设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n$ 与 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_n$ 为绝对收敛的级数，他们的和分别为 $A和B$ ，则它们的柯西乘积 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_nb_1+a_{n-1}b_2+\cdots+a_1b_n)$ 仍为绝对收敛，且其和为 $A\cdot B$

函数项级数收敛与一致收敛

函数项级数(series of functions)
(1) 定义在区间D上的函数列 $\{u_n(x)\}=u_1(x),u_2(x),\cdots,u_n(x),\cdots$ 构成的表达式 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$ 叫做（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
(2) 对每一个确定的值 $x_0\in D$ ,函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)$ 成为常数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x_0)$ ，若常数项级数收敛,则称点 $x_0$ 为函数项级数的收敛点,收敛点的全体称为收敛域；若常数项级数发散，则称级数点 $x_0$ 为函数项级数的发散点，发散点的全体称为发散域。
(3) 若 $Ω$ 为函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)$ 的收敛域，则对每个 $x\inΩ$ ，存在惟一的 $S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)$ ， $S(x)$ 称为函数项级数的和函数
(4) 函数项级数前项部分和记作 $S_n(x), r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为余项，则在收敛域上有 $\lim\limits_{n\to∞}S_n(x)=S(x)或\lim\limits_{n\to∞}r_n(x)=0$

一致收敛(uniform convergence)
定义1设函数序列 $\{u_n(x)\}$ 在收敛域D上逐点收敛于 $u(x)$ ，如果对于任意 $ϵ>0$ ，存在只依赖于 $ϵ$ 的正整数N，使得当 $n>N$ 时，恒有 $|u_n(x)-u(x)|<ϵ,∀ x\in D$ ，则称函数序列 $\{u_n(x)\}$ 在D上一致收敛于函数 $u(x)$
定义2设函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)在I$ 上的和函数为 $S(x)$ ，若其部分和函数序列 $\{S_n(x)\}在I$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，则称函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)在I$ 上一致收敛于和函数 $S(x)$ .

定理（魏尔斯特拉斯判别法）：如果函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)在区间I$ 满足条件：
(1) $∀ x\in I,|u_n(x)|⩽ M_n(n=1,2,\cdots)$
(2)正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}M_n$ 收敛
则函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)在区间I$ 上一致收敛

函数项级数的基本性质

设函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)在I$ 上一致收敛于和函数 $S(x)$
定理 1 (连续) $\lim\limits_{x\to x_o}S(x)=S(x_0)\iff \lim\limits_{x\to x_o}\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u_n(x_0)$
定理 2 (积分) $\displaystyle\int_{x_0}^{x} S(x)dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\int_{x_0}^{x}u_n(x)dx\iff \displaystyle\int_{x_0}^{x}\sum_{n=1}^{∞}u_n(x)dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\int_{x_0}^{x}u_n(x)dx$
定理 3 (导数) $S'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}u'_n(x)$

幂级数的收敛域与和函数

定义：形如 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$ 的级数称为幂级数(power series)，常数 $a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots$ 称为幂级数的系数，特别令 $x_0=0$ 有 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$
定理 1（Abel 定理）
(1)若幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 在点 $x=x_0(x_0\neq0)$ 处收敛，则它对于满足不等式 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 都绝对收敛；
(2)若幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 在点 $x=x_0$ 处发散，则它对于满足不等式 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 都发散

收敛半径(radius of convergence)
定理 2如果幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数 $R\in\R^+$ ，使得当 $|x|<R$ 时，该幂级数绝对收敛；当 $|x|>R$ 时，该幂级数发散；当 $|x|=R$ 时，该幂级数可能收敛也可能发散。
$R$ 通常叫做收敛半径；开区间 $(-R,R)$ 叫做收敛区间，再加上收敛端点就构成收敛域了
两种特殊情形：
(1)幂级数只在 $x=0$ 处收敛时,收敛半径 $R=0$
(2)幂级数在整个数轴上收敛时，规定收敛半径 $R=+∞$

收敛半径的计算
定理 3 对于幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ ，若 $\lim\limits_{n\to∞}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=ρ或\lim\limits_{n\to∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ$ ，其中 $ρ⩾0$ ，则该幂级数的收敛半径为 $R=\dfrac{1}{ρ}$
一般幂级数的收敛半径：对于一般幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(x-x_0)^n$ ，除收敛域为 $\{x_0\}$ 或 $(-∞,+∞)$ 两种情形，一定存在正数 $R$ 的收敛半径。

幂级数的四则运算
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 及 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}b_nx^n$ 的收敛半径分别为 $R_1,R_2$ ，令 $R=\min\{R_1,R_2\}$ ，则它们的和、差、乘积在公共收敛区间 $(-R,R)$ 内都绝对收敛，且有
$\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n± \displaystyle\sum_{n=0}^{∞}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}(a_n± b_n)x^n,(-R<x<R)\\ (\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n)(\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}b_nx^n)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}c_nx^n,(-R<x<R)$
其中 $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1+a_nb_0$

幂级数和函数的基本性质
性质 1 (幂级数和函数的连续性) 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛域上连续
性质 2 (幂级数可逐项积分)幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，并有逐项积分公式
$\displaystyle\int_0^xS(x)dx=\displaystyle\int_0^x\sum_{n=0}^{∞}a_nx^ndx=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\int_0^xa_nx^ndx=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$
逐项积分后的得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质 3 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 上可导，并有逐项求导公式
$S'(x)=(\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n)'=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}(a_nx^n)'=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n-1}$
逐项求导后的得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
推论 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 上具有任意阶导数

函数的幂级数展开

$\boxed{幂级数\displaystyle \sum_{n=0}^{∞}a_nx^n 或\sum_{n=0}^{∞}a_n(x-x_0)^n} \xrightleftharpoons[expand]{sum} \boxed{和函数S(x)}$

泰勒级数
(1) 假设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内 $U(x_0)$ 能展开成幂级数，即有
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots,x\in U(x_0)$
(2) 由幂级数和函数的性质可知， $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有任意阶导，且 $f^{(n)}(x_0)=n!a_n$ ，于是 $a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0),(n=0,1,2,\cdots)$
(3) 这就表明，若函数 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 有幂级数，则展开式为

$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\in U(x_0)$

此幂级数叫做泰勒级数(Taylor series)，当 $x_0=0$ 时，为麦克劳林级数(Maclaurin series)。
定理 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内具有任意阶导数，则
$f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 $\lim\limits_{n\to ∞}R_n(x)=0,x\in U(x_0)$
其中 $R_n(x)$ 为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的n阶泰勒公式的余项
推导：由于n阶泰勒多项式 $p_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k$ 就是泰勒级数的前n+1项部分和，余项 $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$ ,根据级数收敛的定义，有
$\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n=f(x) \\ \iff \lim\limits_{n\to ∞}p_n(x)=f(x)\\ \iff \lim\limits_{n\to ∞}[f(x)-p_n(x)]=f(x)\\ \iff \lim\limits_{n\to ∞}R_n(x)=0$
下面着重讨论 $x=x_0$ 的情形，即麦克劳林展开
用公式法将函数展为麦克劳林级数的步骤
(1)检验函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否任意次可导，并求出 $f^{(n)}(x),n=0,1,2,\cdots$ ；
(2)求出 $f^{(n)}(0),n=0,1,2,\cdots$ ；
(3) 写出幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n$ ，并求出收敛半径 $R$
(4)利用余项的表达式 $R_n(x)=\dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(θ x)x^{n+1} (0<θ<1)$ ，如果 $\lim\limits_{n\to ∞}R_n(x)=0,x\in(-R,R)$ ，即可写出麦克劳林展开式
间接法将函数展为麦克劳林级数：通过幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等
$e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{n!}x^n,x\in(-∞,+∞)$
$\sin x=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},x\in(-∞,+∞)$
$\cos x=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},x\in(-∞,+∞)$
$\dfrac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}(-x)^n,x\in(-1,1)$
$\ln (1+x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1},x\in(-1,1]$

傅里叶级数

三角级数(trigonometric series)：形如 $\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\boxed{T=2π}$ 的级数叫三角级数，其中 $a_0,a_n,b_n(n=1,2,\cdots)$ 是三角级数的系数

三角函数系
$1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots$
正交性 (orthogonal) 对于三角函数系中任何不同的三角函数的乘积在 $[-π,π]$ 上的积分为0，即
$\displaystyle\int_{-π}^{π}\sin nxdx=0\quad(n=1,2,3,\cdots) \\ \int_{-π}^{π}\cos nxdx=0\quad(n=1,2,3,\cdots) \\ \int_{-π}^{π}\sin kx\cos nxdx=0\quad(k,n=1,2,3,\cdots) \\ \int_{-π}^{π}\cos kx\cos nxdx=0\quad(k,n=1,2,3,\cdots,k\neq n) \\ \int_{-π}^{π}\sin kx\sin nxdx=0\quad(k,n=1,2,3,\cdots,k\neq n)$

函数的傅里叶级数展开
假设周期为 $2π$ 的函数 $f(x)$ 能展开成三角级数，即
$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
设右边三角级数在 $[-π,π]$ 上可以逐项积分，利用三角级数的正交性可得
$\begin{cases} a_n=\dfrac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\cos nxdx ,(n=0,1,2,3,\cdots)\\ b_n=\dfrac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\sin nxdx ,(n=1,2,3,\cdots) \end{cases}$
这时所确定的 $a_0,a_1,b_1,\cdots$ 为函数 $f(x)$ 的傅里叶系数(Fourier coefficient)．所得到的三角级数 $\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 称为函数 $f(x)$ 的傅里叶级数(Fourier series)

定理(Dirichlet 收敛定理)设 $f(x)$ 是周期为 $2π$ 的周期函数,并满足狄利克莱(Dirichlet )条件：
(1)在一个周期区间内连续或只有有限个第一类间断点；
(2)在一个周期区间内只有有限个极值点，
则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且有
$\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\begin{cases} f(x) & x为连续点 \\ \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2} & x为间断点 \end{cases}$
其中 $a_n,b_n$ 为 $f(x)$ 的傅里叶系数.

正弦级数和余弦级数
周期为 $2π$ 的函数 $f(x)$
若为奇函数，则傅里叶展开式为只含有正弦项的正弦级数 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n\sin nx$
若为偶函数，则傅里叶展开式为只含有余弦项的余弦级数 $f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n\cos nx$

周期延拓 (periodic extension)
若函数 $f(x)$ 只在 $[-π,π]$ 上有定义，并满足收敛条件，我们可在定义区间外补充函数的定义，使其成为周期为 $2π$ 的周期函数 $F(x)$ ，再将 $F(x)$ 展开成傅里叶级数，最后限制 $x\in[-π,π]$ ，此时 $f(x)\equiv F(x)$
用同样的方法也可为定义在 $[0,π]$ 或 $[-π,0]$ 的函数奇（偶）延拓

吉布斯现象 (Gibbs phenomenon)

在间断点附近部分和函数的图形出现大幅度波动，波动的区间随着项数的增加越来越小，但幅度似乎是一样的！
傅里叶级数在函数间断点处的上述现象称为吉布斯现象(Gibbs phenomenon)

一般周期函数的傅里叶级数

任意周期函数的傅里叶级数展开方法
设函数 $f(x)$ 周期为 $2l$ ，令 $x=\frac{l}{π}t$
则函数 $F(t)=f(x)=f(\frac{l}{π}t)$ 周期为2π
求得 $F(t)$ 的傅里叶级数
再将 $t=\frac{π}{l}x$ 带入可得 $f(x)$ 的傅里叶级数
定理 设周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理条件，则傅里叶展开式为 $f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos \dfrac{nπ x}{l}+b_n\sin \dfrac{nπ x}{l}),x\in C$
其中
$\begin{cases} a_n=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos \dfrac{nπ x}{l}dx ,(n=0,1,2,3,\cdots)\\ b_n=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin \dfrac{nπ x}{l}dx ,(n=1,2,3,\cdots) \end{cases} \\ C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$
定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法
设 $f(x),x\in[a,b]$ ，令 $x=t+\frac{b+a}{2}$
则 $F(t)=f(x)=f(t+\frac{b+a}{2}),t\in[-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]$
做周期延拓，将 $F(t)$ 在 $[-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]$ 展开成傅里叶级数
将 $t=x-\frac{b+a}{2}$ 带入展开式
最后的到 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的傅里叶展开
傅里叶级数的复数形式
设周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数为 $\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos \dfrac{nπ x}{l}+b_n\sin \dfrac{nπ x}{l})$
利用欧拉公式 $\cos t=\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it}),\sin t=\frac{1}{2i}(e^{it}-e^{-it})$
可得傅里叶级数的复数形式
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=-∞}^{+∞}c_ne^{i\frac{nπ x}{l}}$
其中 $c_n=\dfrac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{nπ x}{l}}dx,(n=0,±1,±2,\cdots)$