环

环和子环

环是在群的基础上又增加了一个二元运算。

环：如果非空集合 $R$ 上定义的两个二元运算加法 $+$ 和乘法 $\cdot$ ，满⾜下列法则：

加法群： $(R,+)$ 构成 Abel 群。通常零元记作 0，元素 $a$ 的负元记作 $-a$ ，把 $a+(-b)$ 简记为 $a-b$ ；
乘法封闭性：对于 $\forall a,b\in R$ ，都满足 $a\cdot b\in M$ ；
乘法单位元：存在 $1\in R$ ，对于 $\forall a\in R$ 都有 $a\cdot 1=1\cdot a=a$ 。元素 $a$ 如果有逆元，记作 $a^{-1}$ ；
乘法结合律：对于 $\forall a,b,c\in R$ ，都有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ；
分配律：对于 $\forall a,b,c\in R$ ，都有 $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a,\quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ ；

那么称 $(R,+,\cdot)$ 是一个环(Ring)。在不混淆的情况下，也可简称 $R$ 。乘法运算 $a\cdot b$ 通常简写为 $ab$ 。如果环的乘法满足交换律，则称 $(R,+,\cdot)$ 是交换环(commutative ring)。如果 $(R\setminus\{0\},\cdot)$ 构成Abel群，则称 $(R,+,\cdot)$ 是域(Field)。

集合 $R$ 连同乘法构成的数学结构 $(R,\cdot)$ 通常称为幺半群 (monoid)。
环论中经常会使用集合 $R\setminus\{0\}$ ，通常会简写为 $R^*$ 。

集合 $\{0\}$ 在加法和乘法下构成环，称为零环 (zero ring) 。它的的加法零元和乘法单位元相等，即 $0=1$ 。

数域 $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 在通常定义的加法 $+$ 和乘法 $\times$ 运算下构成交换环。所有 $n$ 阶方阵在矩阵加法和乘法下构成全矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$ 。

由于环的加法运算满足结合律，和群中的定义相似，我们可以定义倍数运算，对于 $a\in R,\ n\in\mathbb{N}^*$

$na:=\underbrace{a+\cdots+a}_{n\text{ times}}$

同样定义 $0a:=0$ (等式左侧的0是整数零) 和 $(-n)a:=n(-a)$ 。容易验证 $\forall m,n\in\mathbb{Z}$ ：

$ma+na=(m+n)a,\quad m(na)=(mn)a$

环的基本性质：设 $(R,+,\cdot)$ 是环， $0,a,b\in R,\ m,n\in\mathbb{Z}$

$0\cdot a=a\cdot 0=0$
$(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$
$(-a)\cdot(-b)=a\cdot b$
$n(a+b)=na+nb$
$(ma)\cdot (nb)=(mn)(a\cdot b)$
$(a+b)\cdot (a-b)=a^2+b\cdot a-a\cdot b-b^2$
$(a+b)^2=a^2+a\cdot b+b\cdot a+b^2$

证明：(1) 因为 $0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a$ 故 $0\cdot a=0$

(2) 因为 $(-a)\cdot b+a\cdot b=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0$ 故 $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$

(3) 由性质2有 $(-a)\cdot(-b)=-((-a)\cdot b)=-(-(a\cdot b))=a\cdot b$

如下矩阵环 $M_2(\mathbb{Z}_2)$ 的子集构成一个环

它的加法和乘法表如下：

示例1：设 $(R,+,\cdot)$ 是环， $a\in R,n\in\mathbb{Z}$ 。计算 $(a+n1)\cdot(a-n1)$

解： $(a+n1)\cdot(a-n1)=a^2-n(a\cdot 1)+n(1\cdot a)-n^21=a^2-n^21$

示例2：类比复数，考虑集合 $\mathbb H=\{a+b\mathrm i+c\mathrm j+d\mathrm k: a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$ 。定义乘法运算满足

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,\\ ij=k,\ jk=i,\ ki=j$

那么可以验证， $\mathbb H$ 构成一个不可交换环，称为四元数 (quaternion) 。

示例3：任取一个正整数 $n$ ，令

$\mathbb{Z}_n=\{\bar 0,\bar 1,\cdots,\overline{n-1}\}$

表示 $n$ 个剩余类的集合。其中 $\bar i=i\mod n$ 。则 $\mathbb{Z}_n$ 在模加法与模乘法

$\bar i+\bar j=\overline{i+j\pmod n},\\ \bar i\times\bar j=\overline{i\times j\pmod n}$

构成环，称为模 $n$ 剩余类环。其中 $\bar 0$ 是零元， $\bar{-i}$ 和 $\bar i$ 互为负元。

示例4： $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ 上的所有2阶上三角矩阵

$R_8=\left\{\begin{bmatrix}x&y\\0&z\end{bmatrix}:x,y,z\in\mathbb{Z}_2\right\}$

关于方阵的普通加法与乘法，构成8阶非交换环。

为计算方便，将矩阵表示为三元组 $(x,y,z)$ 。此时，可简记为 $R_8=\{0,001,010,100,1,011,110,111\}$ ，它的加法凯莱图和乘法表如下

类似群的情形，也可以建立子环的概念。

子环：对于环 $(R,+,\cdot)$ 和它的非空子集 $S$ ，如果 $(S,+,\cdot)$ 也是一个环，则称 $S$ 是 $R$ 的子环 (subring) ，记作 $S< R$ 。环 $R$ 的子环的交集也是 $R$ 的子环。

对于任何整数 $n$ ，都有 $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in\mathbb{Z}\}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个子环。

零因子：众所周知，在数的普通乘法中，如果 $a\neq0,\ b\neq0$ ，则必有 $ab\neq0$ 。但这一性质在一般环中不再成立。如果 $a,b$ 是环中两个非零元素，满足 $a\cdot b=0$ 或 $b\cdot a=0$ ，则称 $a$ 和 $b$ 为零因子(zero divisor)。

下图是模6剩余类环 $\mathbb{Z}_6$ 的乘法表，它的零因子集合 $\{\bar 2,\bar 3,\bar 4\}$

多项式环

对于非零交换环 $R$ ，形如

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\quad (a_i\in R)$

的表达式称为 $R$ 上的多项式(polynomial)。其中 $a_i$ 称为多项式的系数 (coefficient) ，相应地，有关普通多项式的项、次数以及相等概念，对于环上的多项式都可以照搬无误。特别地，也约定系数为0的项可以略去不写。同时又约定 $1x=x$ 和 $(-a)x=-ax$ 。

注意，多项式中出现的 $x$ 只是一个记号，称为多项式的不定元 (indeterminate) 。它本身没有任何含义，也没有取值范围。它的存在，仅仅是通过它的指数标记系数的位置。所以，多项式也可以写作 $R$ 上的数列

$a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n,0,0,\cdots$

所有系数都为0 (加法零元) 的多项式称为零多项式 (zero polynomial) ，记作 $0$ 。对于其它多项式，不妨设 $a_nx^n$ 是系数不为零的项中次数最高的项，称为最高次项(leading term)。此时，自然数 $n$ 称为多项式的次数(degree)，记作 $\deg f(x)$ 。特别地，最高次项系数等于1 (乘法单位元) 的多项式称为首一(monic)多项式。

对于环 $R$ 上的两个多项式

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots \\ g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n+\cdots$

多项式的加法和乘法定义和普通多项式一致

$f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i\\ f(x)\cdot g(x)=\sum_{i=0}^n(\sum_{k=0}^ia_kb_{i-k})x^i$

根据以上规定，环 $R$ 上不定元 $x$ 的全体多项式，关于多项式的加法与乘法作成一个环，称为 $R$ 上不定元 $x$ 的多项式环，记作 $R[x]$

$R[x]=\left\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i:a_i\in R\right\}$

那些次数为零的多项式称为常数多项式，它们是 $R$ 在 $R[x]$ 中的嵌入。

基本性质：设环 $R$

$R$ 是交换环当且仅当 $R[x]$ 是交换环；
$R$ 有零因子当且仅当 $R[x]$ 有零因子；
$R$ 是 $R[x]$ 的一个子环；
$R$ 的单位元就是 $R[x]$ 的单位元；

示例1：高斯整环 $\mathbb{Z}[\mathrm i]=\{a+b\mathrm i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ ，其中不定元满足 $\mathrm i^2=-1$ 。

示例2：多项式环 $\mathbb{R}[\mathrm i]=\{a+b\mathrm i:a,b\in\mathbb{R}\}\cong\mathbb{C}$ ，其中不定元满足 $\mathrm i^2=-1$ 。

多项式环还可以推广到含有多个不定元的情形。对于多项式环 $R[x]$ ，可以定义 $R[x]$ 上的多项式环 $R[x][y]$ ，易证 $R[x][y]\cong R[y][x]$ ，进而可以简记为 $R[x,y]$ 。进一步，可以归纳地定义 $R[x_1][x_2]\cdots[x_n]$ ，我们称其为 $R$ 上的 $n$ 元多项式环，简记为 $R[x_1,\cdots,x_n]$ 。

定理：设环 $R< S$ ，元素 $s\in S\setminus R$ ，则 $R[s]$ 是 $S$ 中包含 $R\cup\{s\}$ 的最小子环。

证明：设多项式 $p(x)\in R[x]$ ，使用替代映射 $f(p)=p(s)$ 建立环同态 $f:R[x]\to S$ 。因为 $R< S,\ s\in S$ ，所以 $p(s)\in S$ ，良定义。又因为 $R[s]=\text{Im}(f)< S$ ，所以 $R[s]$ 是一个环。

再证明最小：设 $R'\supe R\cup\{s\}$ 是一个环，则 $R\subseteq R',s\in R'$ 。根据封闭性 $1,s,s^2,\cdots,s^n,\cdots\in R'$ 并且 $a_0,\cdots,a_ns^n\in R'$ ，并且 $a_0+\cdots+a_ns^n\in R'$ ，其中 $a_0,\cdots,a_n\in R$ 。所以 $R'\supe R[s]$ 。

理想

由前几节的讨论我们已经看到，群中有很多概念和定理都可以类推到环中。这一节所讨论的环的理想，就处于群论中「正规子群」的地位。正规子群是群中极重要的概念，同样，理想在环的讨论中也占着非常重要的地位。

理想：设 $(R,+,\cdot)$ 构成环， $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群。如果 $\forall r\in R$ 满足

$rI=\{r\cdot a:a\in I\}\subseteq I,\\ Ir=\{a\cdot r:a\in I\}\subseteq I$

则称 $I$ 是 $R$ 的理想 (ideal) ，记作 $I\lhd R$ 。其中 $rI\subseteq I$ 或 $Ir\subseteq I$ 称为吸收律，吸收律保证了乘法封闭。

显然，平凡子环 $R$ 和 $\{0\}$ 都是理想，称为平凡理想。

前面提到的子环 $n\mathbb{Z}$ 其实是 $\mathbb{Z}$ 的理想。显然，一个 $n$ 的倍数与任何整数相乘，都会得到 $n$ 的倍数。

不同于群论，我们可以从环的单个元素出发，来作出理想。设 $R$ 是一个环，任取 $a\in R$ ，则 $R$ 中包含元素 $a$ 的理想总是存在的，例如 $R$ 本身就是一个。易知， $R$ 中包含 $a$ 的全部理想的交也是 $R$ 的一个理想，且是包含元素 $a$ 的最小理想。这个理想称为由 $a$ 生成的主理想(principal ideal)，记为 $\langle a\rangle$ 。

接下来我们看下主理想的构成。首先，由于 $a\in\langle a\rangle$ ，保证加法的封闭性有 $\forall n\in N,\ na\in\langle a\rangle$ ；其次，保证乘法封闭性有 $\forall r,s\in R,\ ras\in\langle a\rangle$ 。又由于 $na=(n1)a1$ ，从而

$\langle a\rangle=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i:r_i,s_i\in R,n\in N^*\}$

若 $R$ 是交换环，主理想进一步简化为

$\langle a\rangle=\{ra:r\in R\}$

示例1：模 $6$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_6$ 有两个非平凡理想： $\langle\bar2\rangle=\langle\bar4\rangle=\{\bar0,\bar2,\bar4\}$ 和 $\langle\bar3\rangle=\{\bar0,\bar3\}$

示例2：整数环 $\mathbb{Z}$ 中的所有理想 $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle$ 都是主理想

示例3：多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 中所有常数项为 0 的多项式都是主理想

定理：设 $I\lhd R,\ J\lhd R$

$I\cap J\lhd R$
令 $I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$ ，则 $I+J\lhd R$
令 $\displaystyle IJ=\sum_{a\in I,b\in J}ab$ ，则 $IJ\lhd R$

商环

和群一样，基于环的理想，可以在环的加法陪集 $R/I=\{r+I:r\in R\}$ 上定义商环。再来回顾下商群中定义的陪集加法

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$

对于理想 $I\lhd R$ ，总会有 $(I,+)\lhd (R,+)$ 。所以， $R/I$ 在陪集加法下构成阿贝尔群。现在的想法是，如何定义陪集乘法能使 $R/I$ 形成一个环。为此，我们对环 $R$ 的子集 $A$ 和 $B$ 规定集合乘积

$A\cdot B=\{ab:a\in A,b\in B\}$

易知这个乘积有结合律。现在来看任意两个加法陪集 $a+I$ 和 $b+I$ 的乘积，任取 $i,j\in I$

$(a+i)\cdot(b+j)=ab+aj+ib+ij$

因为理想的吸收律 $aj,ib,ij\in I$ ，又因为加法群的封闭性 $aj+ib+ij\in I$ ，所以

$(a+i)\cdot(b+j)\in ab+I$

因为陪集要么相等，要么完全不想交。如果要满足陪集乘法的封闭性，需要定义理想的乘法

$(a+I)\cdot(b+I)=ab+I$

现在，可以证明加法陪集在乘法运算下构成幺半群：

封闭性：自然满足
单位元： $(1+I)\cdot (a+I)=(a+I)\cdot(1+I)=a+I$
结合律： $((a+I)\cdot(b+I))\cdot(c+I)=(a+I)\cdot((b+I)\cdot(c+I))=abc+I$

最后看分配律：

左分配律： $(r+I)\cdot((a+I)+(b+I))=(r+I)\cdot(a+I)+(r+I)\cdot(b+I)=r(a+b)+I$
右分配律： $((a+I)+(b+I))\cdot(r+I)=(a+I)\cdot(r+I)+(b+I)\cdot(r+I)=(a+b)r+I$

因此，我们可以基于理想的加法陪集定义商环了

商环：设环 $(R,+,\cdot)$ 和它的理想 $I$ 。加法陪集集合

$R/I=\{r+I:r\in R\}$

在陪集的加法和乘法运算

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\ (a+I)\cdot(b+I)=a\cdot b+I$

下构成商环 (quotient ring) 。

同态和同构

环同态：对于环 $(R,+,\cdot)$ 和 $(R',\oplus,\odot)$ ，如果映射 $\phi:R\to R'$ 保持环的加法和乘法运算，即 $\forall a,b\in R$ 满足

$\phi(a+b)=\phi(a)\oplus\phi(b)$
$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\odot\phi(b)$
$\phi(1)=1'$

则称映射 $\phi:R\to R'$ 是自环 $R$ 到环 $R'$ 的同态 (homomorphism) 。若 $\phi$ 为双射，那么称为同构(isomorphism)，记作 $R\cong R'$ 。特别地，当 $R=R'$ 时，称 $\phi$ 为环 $R$ 的一个自同构(automorphism)。

在上面的定义中，条件1说明 $\phi$ 是将交换群 $(R,+)$ 映射到 $(R',+)$ 的群同态。关于群同态的所有结论对于环的加法结构是成立的。

同态的核：设映射 $\phi:R\to R'$ 是自环 $R$ 到环 $R'$ 的同态

所有映射到 $R'$ 的加法零元 $0'$ 的元素 $g\in R$ 称为同态 $\phi$ 的核(kernel)：

$\ker(\phi)=\{r\in R:\phi(r)=0'\}$
群 $G$ 中所有元素的像做成的集合 $\phi(G)$ 称为同态 $\phi$ 的像(image)：

$\text{Im}(\phi)=\{\phi(r):r\in R\}$

环同态也有与群同态类似的性质。

基本性质：设 $\phi:R\to R'$ 是环同态：

$\phi(0)=0'$ ；
$\phi(-a)=-\phi(a),\ \forall a\in R$ ；
若 $S<R$ ，那么 $\phi(S)< R'$ ；
$\ker(\phi)<R,\quad \text{Im}(\phi)< R'$ ；

证明：(4) 乘法封闭：对于 $\forall \phi(a),\phi(b)\in \text{Im}(\phi),\quad \phi(a)\phi(b)=\phi(ab)\in \text{Im}(\phi)$
加法封闭：对于 $\forall \phi(a),\phi(b)\in \text{Im}(\phi),\quad \phi(a)+\phi(b)=\phi(a+b)\in \text{Im}(\phi)$
单位元： $0'=\phi(0)\in\text{Im}(\phi)$ ；根据定义 $1'=\phi(1)\in\text{Im}(\phi)$
负元： $\forall \phi(a)\in \text{Im}(\phi),\quad-\phi(a)=\phi(-a)\in\text{Im}(\phi)$

应该注意的是，整数环 $\mathbb{Z}$ 或模 $n$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_n$ 的同阶子环虽然作为加群它们彼此同构 (因为都是循环群) ，但作为环来说，它们彼此并不同构。

示例1： $\mathbb{Z}_6$ 的子环 $R=\{\bar 0,\bar 2,\bar 4\}$ 和 $\mathbb{Z}_9$ 的子环 $R'=\{\bar 0,\bar 3,\bar 9\}$ 不同构。

证明： $R$ 与 $R'$ 的加群都是3阶循环群，必然同构，但作为环它们不同构。假设存在同构 $\phi:R\to R'$ ，则必有 $\bar 2\mapsto\bar 3,\ \bar 4\mapsto\bar 6$ 或 $\bar 2\mapsto\bar 6,\ \bar 4\mapsto\bar 3$ 。从而均有 $\bar 2=\bar 2\cdot\bar 4\mapsto \bar 3\cdot\bar 6=\bar 0$ 矛盾。

示例2：设正整数 $m,n$ 互素，则环 $\mathbb{Z}_{mn}\cong\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$

环同态基本定理

和群的情形一致，可以建立环的同态基本定理。

环同态基本定理：设映射 $\phi:R\to R'$ 是自环 $(R,+,\cdot)$ 到环 $(R',\oplus,\odot)$ 的同态，则

$\ker(\phi)\lhd R,\quad \frac{R}{\ker(\phi)}\cong\text{Im}(\phi)$

也就是说，模 $\ker(\phi)$ 得到的商环 $R/\ker\phi$ 同构于同态的像 $\text{Im}(\phi)$ 。

证明：为方便计算，令 $I=\ker(\phi)$ 。

上节已经证明过 $I< R$ ，取任意 $r\in R,k\in I$ ，由同态性质知 $\phi(r\cdot k)=\phi(r)\odot\phi(k)=f(r)\odot0'=0'$ ，所以 $r\cdot a\in I$ ，故 $rI\subseteq I$ 。同理可证 $Ir\subseteq I$ 。所以 $\ker(\phi)\lhd R$ 。
同构的证明关键在于找到合适的同构映射 $f:R/I\to\text{Im}(\phi)$ 。注意到同一加法陪集 $r+I$ 中的任意元素 $r+k$ 的像 $\phi(r+k)=\phi(r)\oplus\phi(k)=\phi(r)$ 都相同，不妨定义陪集的映射 $f(r+I)=\phi(r)$ 。由群同态基本定理，我们知道 $f$ 是加群 $R/I$ 到加群 $\text{Im}(\phi)$ 的同构映射，即 $f((a+I)+(b+I))=f(a+I)\oplus f(b+I)$ 且 $f$ 是双射。
又因为 $(a+I)\cdot(b+I)=ab+I$ ，故 $f((a+I)\cdot(b+I))=f(a\cdot b+I)=\phi(a\cdot b)$ 。而 $\phi(a\cdot b)=\phi(a)\odot\phi(b)=f(a+I)\odot f(b+I)$ ，所以 $f((a+I)\cdot(b+I))=f(a+I)\odot f(b+I)$ 。
$f(1+I)=\phi(1)=1'$

综上所述， $f$ 是环 $R$ 到环 $\text{Im}(\phi)$ 的一个同构映射，从而 $R/\ker(\phi)\cong\text{Im}(\phi)$ 。

自然同态：对于环 $R$ 和它的理想 $I\lhd G$ ，由 $\phi(r)=r+I$ 给出的映射 $\phi: R\to R/I$ 是自 $R$ 到 $R/I$ 的满同态，称为自群 $R$ 到商环 $R/I$ 的自然同态 (natural homomorphism) 。

这一结论也说明，对于任何给定环的理想，都能够找到对应的环同态，使得这一同态的核就是给定的理想。前文同态基本定理则说明，任何同态的核都是理想。故而，理想和环同态的核是一体两面。

环同态基本定理也常称为环的第⼀同构定理。和群同态类似，还有第⼆、三同构定理。

第二同构定理：设 $R$ 是环，又 $H< R,\ I\lhd R$ ，则

$I\lhd (H+I),\ H\cap I\lhd H$
$H/(H\cap I)\cong (H+I)/I$

第三同构定理：设 $R$ 是环，又 $I\lhd R,\ I\lhd J\lhd R$ ，则

$J/I\lhd R/I$
$R/J\cong (R/I)/(J/I)$

示例1： $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n$

证明：易知映射 $\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$ 定义 $\phi(a)=\bar a=a\mod n$ 是满同态，且 $\ker(\phi)=n\mathbb{Z}$ ，由环同态基本定理知 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n$ 。

示例2： $\mathbb{Z}[x]/\langle x^2+1\rangle\cong\mathbb{Z}[\text{i}]$

证明：易知映射 $\phi:f(x)\mapsto f(\mathrm i)$ 是环 $\mathbb{Z}[x]$ 到 $\mathbb{Z}[\mathrm i]$ 的一个满同态，且 $\ker(\phi)=\langle x^2+1\rangle$ ，由环同态基本定理知 $\mathbb{Z}[x]/\langle x^2+1\rangle\cong\mathbb{Z}[\text{i}]$ 。

素理想和极大理想

本节介绍交换环中两种重要的理想，它们分别推广了整数的素数性质和极大性质，是代数几何的基石。

定义：设 $R$ 是一个交换环

令 $P\lhd R$ 且 $P\neq R$ 。若对于任意 $ab\in P$ 必有 $a\in P$ 或 $b\in P$ ，则 $P$ 称为素理想(prime ideal)；
令 $M\lhd R$ 且 $M\neq R$ 。若对任意满足 $M\subseteq N\subseteq R$ 的理想 $N$ 都有 $N=M$ 或 $N=R$ ，则称 $M$ 为极大理想(maximal ideal)；

极大理想是不能再扩大的真理想，如果在它上面加任何一个不在里面的元素，都会生成整个环。

定理：设 $R$ 是一个交换环

$P$ 是素理想当且仅当商环 $R/P$ 无零因子；
$M$ 是极大理想当且仅当商环 $R/M$ 是一个域；
极大理想一定是素理想；

证明：(1) 设 $0'$ 是商环 $R/P$ 的零元。若 $P$ 是素理想，取两元素 $a+P,b+P\in R/P$ ，令 $(a+P)(b+P)=ab+P=0'$ ，即 $ab\in P$ ，故 $a\in P$ 或 $b\in P$ 。所以 $a+P=0'$ 或 $b+P=0'$ ，即商环 $R/P$ 无零因子；

若商环 $R/P$ 无零因子，且令 $ab\in P$ 。则 $ab+P=0'$ ，即 $(a+P)(b+P)=0'$ ，于是 $a+P=0'$ 或 $b+P=0'$ ，故 $a\in P$ 或 $b\in P$ 。因此 $P$ 是素理想。

(3) 若 $M$ 是极大理想，则商环 $R/M$ 是域，因此无零因子，从而 $M$ 是素理想。

推论： $p$ 是素数，等价于 $p\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的极大理想，等价于 $p\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的素理想。

示例1：模 $6$ 剩余类环 $Z_6$ 的两个非平凡理想既是素理想也是极大理想： $\langle 2\rangle=\langle 4\rangle=\{0,2,4\}$ 和 $\langle 3\rangle=\{0,3\}$ 。

示例2： $\langle x\rangle,\langle y\rangle,\langle x,y\rangle$ 都是二元多项式环 $\mathbb{Z}[x,y]$ 的素理想

整环

整环在抽象代数中是一个重要的概念，广泛应用于数论、代数几何等领域。

graph LR
A(Ring)-->B(Commutative</br>Ring)-->C(Integral</br>Domain)-->D(UFD)-->E(PID)-->F(ED)-->G(Field)

整除

整环这个概念正是整数环 $\mathbb{Z}$ 的推广。可以说，环论的一部分工作，就是在讨论使得这些数论中的结论在一般的环上能否成立；如果不能，需要给环施加怎样的限制才能够使这些结论成立。

整环：不含零因子的交换环称为整环(integral domain)

交换律：对于任意元素 $a,b$ ，满足 $a\cdot b=b\cdot a$ ；
无零因子：若 $a\cdot b=0$ ，则必有 $a=0$ 或 $b=0$ ；
非零环： $0\neq 1$ ；

没有零因子这一特性已经足够在整环上建立消去律。

消去律：设元素 $a,b,c\in R$ 且 $a\neq 0$ ，如果 $a\cdot b=a\cdot c$ ，则必然有 $b=c$ 。

因此，如果一个多项式的系数取自整环，则可以通过将多项式因式分解成线性因子并令每个因式等于0来求解多项式方程。

接下来将数论中的相关概念推广到整环上来。

基本定义：设 $R$ 是整环， $a,b\in R$

若 $\exists q\in R$ ，满足 $a=bq$ ，则称 $b$ 整除 $a$ ，记作 $b \mid a$ 。并称 $b$ 是 $a$ 的因子(divisor)， $a$ 是 $b$ 的倍数(multiple)；
若 $a\mid b$ 且 $b\mid a$ ，则称 $a$ 与 $b$ 相伴(associate)，记作 $a\sim b$ ；
若元素 $a$ 有乘法逆元，则称 $a$ 是一个单位 (unit) ；
设 $p\in R^*$ 。若 $p \mid ab$ 一定能推出 $p \mid a$ 或 $p \mid b$ ，则称 $p$ 是素元 (prime) ；
设 $p\in R^*$ 。若 $p=ab$ 时， $a$ 或 $b$ 必有一个是单位，则称 $p$ 不可约 (irreducible) ；反过来，如果存在 $a,b$ 都不是单位，使得 $p=ab$ ，则称 $p$ 可约 (reducible) 。

整除关系是环上的偏序关系，而相伴关系是环上的等价关系。从理想的角度看， $a \mid b$ 等价于 $\langle b\rangle\subseteq\langle a\rangle$ ， $a$ 和 $b$ 相伴等价于 $\langle a\rangle=\langle b\rangle$ 。因而，在讨论环中的元素时，通常不计较相伴元之间的差异。

基本性质：设 $R$ 是整环， $a,b,c\in R$

任何元素都整除零 $a\mid 0$ ；
单位 $u$ 整除任何元素 $u\mid a$ ；
$u\in U(R)\iff \langle u\rangle=R$ ；
$a\mid 1$ 当且仅当 $a$ 是单位；
$a\mid b\implies ac\mid bc$ ；
$a\mid b,\ b\mid c\implies a\mid c$ ；
$a\sim b$ 当且仅当 $a=ub$ 且 $u$ 是单位；
$a\sim b,\ b\sim c\implies a\sim c$ ；
$b\in\langle a\rangle\iff a\mid b$ ；
$\langle b\rangle\subseteq\langle a\rangle\iff a\mid b$ ；
$\langle a\rangle=\langle b\rangle\iff a\sim b$ ；

从基本性质我们知道整除和相伴具有传递性，因此可以使用链式记号：

$a\mid b\land b\mid c\iff a\mid b\mid c \\ a\sim b\land b\sim c\iff a\sim b\sim c$

定理：设 $(R,+,\cdot)$ 是环，全体单位的集合 $U(R)=\{u\in R:\exists v\in R,u\cdot v=1\}$ 构成群，称为单位群(unit group)。

整数环 $\mathbb{Z}$ 的单位群 $U(\mathbb{Z})=\{1,-1\}$ ；有理数环 $\mathbb{Q}$ 的单位群 $U(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ；

示例1：高斯整环 $\mathbb{Z}[\text{i}]$ 的单位群 $U(\mathbb{Z}[\text{i}])=\{\pm1,\pm\text{i}\}$

示例2：模 $n$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_n$ 中非零元 $\bar m$ 如果与 $n$ 互素，则为单位，否则为零因子。

证明：设 $\bar m\neq\bar0$ 且 $\text{lcm}(m,n)=1$ ，则存在整数 $s,t$ 使得 $ms+nt=1$ ，于是 $\overline{ms}=\overline{ms+nt}=\bar 1$ ，即 $\bar s$ 是 $\bar m$ 的逆元，因此 $\bar m$ 是单位。又当 $\text{lcm}(m,n)=d>1$ ，令 $m=dm_1,\ n=dn_1$ ，则 $\bar n_1\neq 0$ 且 $m\bar n_1=\overline{mn_1}=\overline{nm_1}=\bar 0$ ，即 $\bar m$ 是零因子。

例如，模 $6$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_6$ 的单位群 $U(\mathbb{Z}_6)=\{\bar 1,\bar 5\}$

在整数理论中，素数存在着两个等价的定义，但是在一般的整环中，这两个定义对应着不同的概念。

定理：整环 $R$ 中素元一定不可约；但不可约元不一定是素元。

证明：取素元 $p\in R$ ，令 $p=ab$ ，即 $p\mid ab$ 。不妨设 $p \mid a$ 成立，令 $a=pc$ 则 $a=abc$ 。因为整环上成立消去律，有 $bc=1$ 。所以 $b$ 是单位，这就说明 $p$ 是不可约元。

示例3：元素 $10\in\mathbb{Z}$ 可约。因为 $10=2\cdot 5=(-2)\cdot (-5)$

示例4：整数环 $\mathbb{Z}$ 的不可约元是其素数 $\pm2,\pm3,\pm5,\cdots$

示例5：整环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in\mathbb{Z}\}$ 中，元素 6 有两种分解 $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ 。其中 2 不可约，但是不是素元。因为2无法分解为两个非单位元的乘积，但是2整除6，不整除 $1+\sqrt{-5}$ 和 $1-\sqrt{-5}$ 。

在 $\mathbb{Z}_6$ 中，2是素元，但 $2=2\cdot 4$ 可约。

定理：设 $R$ 是整环，元素 $a,b\in R$

环 $R$ 是整环当且仅当 $R[x]$ 是整环；
$\langle a\rangle=\langle b\rangle\iff a\sim b$ ；
$R=\langle a\rangle\iff a\in U(R)$ ；

证明：(1) 显然只需证明当 $R$ ⽆零因⼦时， $R[x]$ 也⽆零因⼦。任取两非零多项式 $f(x),g(x)\in R[x]$ ，由于 $R$ 无零因子，所以最高次项系数的乘积 $a_ma_n\neq0$ ，故 $f(x)g(x)\neq0$ ，即 $R[x]$ 无零因子。

在环的理想上也可以定义最大公因子、最小公倍数等概念。

最大公因子：设 $R$ 是整环， $a,b\in R$ ，如果存在元素 $d \in R^*$ ，满足

公因子： $d \mid a$ 和 $d \mid b$
极大性：且对于任何公因子 $e$ 都满足 $e\mid d$

则称 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公因子(greatest common divisor)，记作 $\gcd(a,b)$ 。特别地，若 $\gcd(a,b)\sim 1$ ，则 $a,b$ 互素。

在整环中，最大公因子在相伴意义下是唯一确定的。若 $d$ 是 $\gcd(a,b)$ ，则 $ud$ 也是 $\gcd(a,b)$ 。例如 $\mathbb{Z}$ 中 $\gcd(4,6)=\pm2$ 。

最小公倍数：设 $R$ 是整环， $a,b\in R$ ，如果存在元素 $m\in R^*$ ，满足

公倍数： $a \mid m$ 和 $b \mid m$
极小性：且对于任何公倍数 $n$ 都满足 $m\mid n$

则称 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数(lowest common multiple)，记作 $\text{lcm}(a,b)$ 。

唯一分解整环

整数中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积，这便是「算术基本定理」。UFD 的概念直接源于算术基本定理的抽象化。在这一节里，我们要把整数的这些讨论推广到更一般的环上去。

UFD：设 $R$ 是整环，如果满足：

存在性：任何非零非单位元素可分解为有限个不可约元的乘积；
唯一性：若 $a=p_1p_2\cdots p_m=q_1q_2\cdots q_n$ ，其中 $p_i,q_i$ 不可约，则 $m=n$ ，并且适当交换不可约元的次序后 $p_i$ 和 $q_i$ 相伴；

则称整环 $R$ 是唯一分解整环(unique factorization domain)，简称UFD。

算术基本定理说明，整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一分解整环。

UFD判定定理：若整环 $R$ 满足下列条件，则为UFD

所有非零元都能分解成有限个不可约元的乘积；
并且所有不可约元都是素元；

前文给出了不可约元不是素元的反例，其中涉及的整环 $\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]$ 中唯一分解定理不再成立。但是，在所有唯一分解整环上，不可约元和素元都是等价的。

定理：设 $R$ 是UFD， $p$ 是素元当且仅当 $p$ 不可约。

证明：整环中素元一定不可约，只需要证明不可约元都是素元。对于不可约元 $p$ ，如果 $p \mid ab$ ，那么就存在 $c \in R$ 使得 $ab=pc$ 成立。因为 $R$ 是UFD，所以可以对 $a,b,c \in R$ 都分解成不可约元的乘积。比较左右两边，根据分解的唯一性可知， $p$ 必然和 $a$ 或者 $b$ 的某个不可约因子相伴，故而 $p$ 整除 $a$ 或 $b$ 中的一个。这就说明 $p$ 也是素元。

现在开始证明本节的主要定理：UFD上的多项式环仍然是UFD。为此，我们先要证明两个引理。

本原多项式：设 $R$ 是环，若 $f(x)\in R[x]$ 的系数的最大公因子是1，则称 $f(x)$ 是本原的(primitive)。

在 $\mathbb{Z}[x]$ 中， $4x^2+3x+2$ 是本原的，而 $4x^2+6x+2$ 不是本原的。

引理 1：设 $R$ 是UFD，任意多项式 $f(x)\in R[x]$ 都可(相伴)唯一分解成 $f(x)=cg(x)$ ，其中 $c\in R$ 而 $g(x)\in R[x]$ 是本原多项式。这里 $c$ 称为容度，通常记为 $c(f)$ 。

证明：设 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ ，令 $c=\gcd(a_0,a_1,\cdots,a_n)$ ，则对于每个 $a_i$ 都有 $q_i\in R$ 满足 $a_i=cq_i$ ，由分配律得到 $f(x)=cg(x)$ ，其中 $g(x)=q_0+q_1x+\cdots+q_nx^n$ 的系数在 $R$ 中的最大公因子为1，因而是本原多项式。

在 $\mathbb{Z}[x]$ 中， $4x^2+6x-8=2(2x^2+3x-4)$ 。

引理2：(高斯引理) UFD中的两个本原多项式的乘积也是本原多项式。

定理：若 $R$ 是UFD，则多项式环 $R[x]$ 也是 UFD。

主理想整环

PID：所有理想都是主理想的整环叫做主理想整环(principal idel domain)，简称PID。

这是性质相当良好，也十分常见的一类整环。在PID中，环中理想的概念就等同于整数中倍数的概念。

本节要证明的⼀个主要结论是，主理想整环⼀定是唯⼀分解整环。为此，先证明以下两个引理。

引理1：PID满足升链条件(ACC)，即对 $R$ 的任意主理想升链 $\langle a_1\rangle\subset\langle a_2\rangle\subset\langle a_3\rangle\cdots$ ，都存在正整数 $k$ 使得当 $n>k$ 时 $\langle a_n\rangle=\langle a_k\rangle$ 。

证明：设 $R$ 是PID。令 $I=\langle a_1\rangle\cup\langle a_2\rangle\cup\langle a_3\rangle\cdots$ 为链的并集，易知 $I\lhd R$ 。由于 $R$ 是 PID，故可设 $I=\langle a\rangle,\ a\in I$ 。则 $a\in\langle a_k\rangle$ 对某一个 $\langle a_k\rangle$ 成立，因此 $I\subseteq\langle a_k\rangle$ 。又 $\langle a_k\rangle\subseteq I$ ，故 $I_k=I$ ，即 $\forall n>k$ 时 $\langle a_n\rangle=\langle a_k\rangle$ 。

引理2：PID中的不可约元是素元。

证明：设 $p\in R$ 是不可约元，且 $p\mid ab$ ，欲证 $p\mid a$ 或 $p\mid b$ 。考虑理想 $I=\langle p,a\rangle$ ，因 $R$ 是 PID，令 $I=\langle d\rangle$ ，则 $d\mid p$ 且 $d\mid a$ 。由于 $p$ 不可约， $d\mid p$ 分两种情况：

(1) $d\in U(R)$ ，则 $\langle p,a\rangle=\langle d\rangle=R$ ，故存在 $s,t\in R$ 满足 $sp+ta=1$ ，进一步 $spb+tab=b$ 。因 $p\mid ab$ ，故 $p\mid tab$ ，又 $p\mid spb$ ，因此 $p\mid b$ ；

(2) $d\sim p$ ，则 $p\mid d$ ，又 $d\mid a$ ，故 $p\mid a$ ；

综上， $p\mid a$ 或 $p\mid b$ 。

现在来证明本节的主要定理。

定理：PID一定是UFD。

证明：设 $R$ 是PID，且 $a \in R$ 不是零元，也不是单位，要证明 $a$ 可以唯一分解为一系列不可约元的乘积。

(1) 首先证明分解的存在性。如果 $a$ 已经是不可约元，就不必继续分解；否则 $a=a_1b_1$ 且 $a_1,b_1$ 都不是单位。进而，如果 $a_1$ 和 $b_1$ 都是不可约元，那么也不必继续分解；否则，不妨令 $a_1$ 可约，则 $a_1$ 可以进一步分解。由此，就可以将分解过程不断进行下去，从而得到整除链 $a,a_1,a_2,\cdots$ ，其中 $a_{i+1}\mid a_i$ 且元素链中不存在相伴元。对这些元素中的每一个做主理想，则得到严格上升的理想列 $\langle a\rangle\subset\langle a_1\rangle\subset\langle a_2\rangle\cdots$ 。由于 PID 满足 ACC ，故而上述分解过程必然在有限步内终止。

(2) 然后证明分解的唯一性。设 $a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t$ ，其中 $p_i,q_i$ 不可约，由引理知 $p_i,q_i$ 都是素元。
由于 $p_1\mid q_1q_2\cdots q_t$ 且 $p_1$ 是素元，则存在某个 $j$ 使得 $p_1\mid q_j$ ，不妨重排使 $j=1$ 。又 $q_1$ 是素元，故 $p_1\sim q_1$ ，即 $q_1=u_1p_1$ ，其中 $u_1\in U(R)$ 。由于整环无零因子，两边消去 $p_1$ 得 $p_2p_3\cdots p_s=u_1q_2q_3\cdots q_t$ 。重复上述过程，逐步消去两边的素元，直到一侧为1，此时另一侧必定只剩单位，否则与不可约矛盾，故 $s=t$ ，且每个 $p_i$ 与 $q_j$ 相伴。

综上，PID满足UFD的存在性和唯一性条件，因此 PID 是 UFD。

应注意，这个定理的逆定理不成⽴，即⼀个UFD不⼀定是⼀个PID。因为由上节知， $\mathbb{Z}[x]$ 是⼀个UFD，但我们知道， $\mathbb{Z}[x]$ 不是PID。

示例1：证明整数环 $\mathbb{Z}$ 是 PID。

证明：令 $\{0\}\neq I\lhd \mathbb{Z}$ ，而 $q$ 是 $I$ 中最小的正整数，下证 $I=\langle q\rangle$ 。

任取 $a\in I$ ，则存在 $n,r\in\mathbb{Z}$ 满足 $a=nq+r$ 且 $0\leqslant r<|q|$ 。考虑理想的吸收律 $nq\in I$ ，于是 $r=a-nq\in I$ 。又因为 $q$ 是 $I$ 中最小的正整数，故 $r=0$ ，从而 $a=nq\in\langle q\rangle$ 。因此 $I=\langle q\rangle$ ，于是 $\mathbb{Z}$ 是 PID。

但是，整数环 $\mathbb{Z}$ 上的多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 不是PID。同时注意，尽管模 $n$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_n$ 的每个理想都是主理想，但是当 $n$ 为合数时 $\mathbb{Z}_n$ 有零因⼦，从⽽此时 $\mathbb{Z}_n$ 并不是整环。

定理：在PID中， $\langle p\rangle$ 是素理想，当且仅当 $\langle p\rangle$ 是极大理想。

证明：只需要证明素理想都是极大理想。设主理想整环 $R$ 中有非零素理想 $\langle p\rangle$ ，且同时有理想 $\langle a\rangle$ 满足 $\langle p\rangle \subseteq \langle a\rangle \subseteq R$ 。这说明 $a \mid p$ ，故而存在 $b \in R$ 使得 $p = ab$ 。但由于 $\langle p\rangle$ 是素理想， $ab \in \langle p\rangle$ 就意味着 $a \in \langle p\rangle$ 或 $b \in \langle p\rangle$ 。如果 $a \in \langle p\rangle$ ，就说明 $\langle a\rangle \subseteq \langle p\rangle$ ，故而 $\langle a\rangle = \langle p\rangle$ ；如果 $b \in\langle p\rangle$ ，就说明 $b = cp$ ，故而 $p = acp$ ，又因 $p \neq 0$ ，有 $1 = ac$ ，即 $a$ 存在逆元 $c$ ，于是 $\langle a\rangle = R$ 。这就说明， $\langle p\rangle$ 是极大理想。

定理：设 $R$ 是PID，元素 $a,b\in R^*$ ，则

$\langle a\rangle+\langle b\rangle=\langle\gcd(a,b)\rangle$
$\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\langle\text{lcm}(a,b)\rangle$
$\gcd(a,b)\cdot \text{lcm}(a,b)\sim ab$

证明：(1) 因为 $\langle a\rangle,\langle b\rangle$ 是理想，同时 $R$ 是PID，所以 $\exists d\in R$ 满足 $\langle d\rangle=\langle a\rangle+\langle b\rangle$

公因子：因为 $a\in\langle a\rangle\subseteq \langle d\rangle=\{rd:r\in R\}$ ，所以 $\exists r\in R$ 满足 $a=rd$ ，所以 $d\mid a$ 。同理可证 $d\mid b$ 。

极大性：设 $\langle e\rangle$ 是所有满足 $e \mid a$ 和 $e \mid b$ 的元素集合，则 $d\in\langle d\rangle\subseteq\langle e\rangle$ ，所以 $e\mid d$ ，所以存在 $d=\gcd(a,b)$ 。

(2) 因为 $\langle a\rangle,\langle b\rangle$ 是理想，同时 $R$ 是PID，所以 $\exists m\in R$ 满足 $\langle m\rangle=\langle a\rangle\cap\langle b\rangle$

公倍数：因为 $m\in\langle m\rangle\subseteq \langle a\rangle=\{ra:r\in R\}$ ，所以 $\exists r\in R$ 满足 $m=ra$ ，所以 $a\mid m$ 。同理可证 $b\mid m$ 。
极小性：设 $(e)$ 是满足 $a \mid e$ 和 $b \mid e$ 的元素集合，则 $e\in\langle e\rangle\subseteq\langle m\rangle$ ，所以 $m\mid e$ ，所以存在 $m=\text{lcm}(a,b)$ 。

(3) 因为 $a\mid \text{lcm}(a,b)\land b\mid \text{lcm}(a,b)$ ，所以 $ab\mid b\cdot\text{lcm}(a,b)$ 且 $ab\mid a\cdot\text{lcm}(a,b)$ ，所以 $ab\mid \gcd(b\cdot\text{lcm}(a,b),a\cdot\text{lcm}(a,b))$ 。

因为 $\gcd(a,b)\mid a\land \gcd(a,b)\mid b$ ，所以 $a\cdot\gcd(a,b)\mid ab$ 且 $b\cdot\gcd(a,b)\mid ab$ ，所以 $\text{lcm}(b\cdot\gcd(a,b),a\cdot\gcd(a,b))\mid ab$ 。

综上所述， $\gcd(a,b)\cdot \text{lcm}(a,b)\sim ab$ 。

考虑整数环 $\mathbb{Z}$ 的情形。对于理想 $m\mathbb{Z}$ 和 $n\mathbb{Z}$ 有

$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=\gcd(m,n)\mathbb{Z}$
$(m\mathbb{Z})(n\mathbb{Z})=(mn)\mathbb{Z}$
$(m\mathbb{Z})\cap(n\mathbb{Z})=\mathrm{lcm}(m,n)\mathbb{Z}$

例如 $10\mathbb{Z}+6\mathbb{Z}=2\mathbb{Z}$

推论：设 $R$ 是PID，元素 $p\in R$ 不可约，且 $p\nmid a$ ，则 $\gcd(a,p)=1$ 。

证明： $1\mid a$ 和 $1\mid p$ 自然满足，还需要证明如果存在 $d\in R$ 满足 $d\mid a$ 和 $d\mid p$ 则 $d\mid 1$ ，即 $d$ 是单位元。

Euclid 整环

ED：对于整环 $R$ ，如果存在映射 $N: R^* \to \mathbb{N}^*$ ，满足 $\forall a,b \in R$ 且 $b \neq 0$ ，都 $\exists q,r \in R$ 使得 $a=qb+r$ 成立且 $r=0$ 或 $N(r) < N(b)$ ，则称整环 $R$ 为Euclid 整环(Euclidean domain)，简写为ED。映射 $N$ 称为Euclid 整环中元素的范数(norm)。

范数可以简单理解为一个排序函数。

这个定义其实就是整数中的带余除法的推广。范数的存在使得能够衡量余数和除数的相对大小。这样在辗转相除的时候，对应的余数的范数也在不断下降；因为范数取值在自然数上，这样的过程必然结束在 $r=0$ 。这样，就得到了Euclid 整环上的辗转相除法。

定理：ED一定是PID。

证明：设 $R$ 是ED，且 $I$ 是它的理想。如果 $I=\{0\}$ ，它显然是主理想。若 $I$ 是非零理想，依定义，环 $R$ 上有范数 $N(\cdot)$ ，于是可以取 $I$ 中范数最小的非零元素 $d$ 。此时，对于任何 $a \in I$ ，都有 $a=qd+r$ 满足 $r=0$ 或 $N(r)< N(d)$ 。考虑理想的性质 $r=a-qd\in I$ ，若 $r\neq0$ 则 $N(r)<N(d)$ 与 $N(d)$ 最小相矛盾，故 $r=0$ 。从而 $a=qd \in \langle d\rangle$ ，这就说明 $I$ 必然是主理想。

定理：对于Euclid 整环 $R$ 和它的元素 $a,b \in R$ ，对 $a$ 和 $b$ 做辗转相除法的得到的结果 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公因子，且存在 $x,y \in R$ 使得 $d=ax+by$ 成立；反过来，任何 $ax+by$ 形式的元素都是 $d$ 的倍数。