前言

群这⼀概念是由法国数学案伽罗⽡在 1831 年⾸次提出的。当时的代数学仍是⼀门以⽅程论为中⼼课题的数学学科，代数⽅程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是⽤根式求解⽅程。

从代数⽅程的根式解法的发展过程来看，早在公元前 1700 年左右，古巴⽐伦⼈就能够⽤根式求解⼀元⼆次⽅程 $ax^2+bx+c=0$ 了。⽽直到 3000 多年之后、16 世纪初的⽂艺复兴时期，三次⽅程和四次⽅程的求根公式才由意⼤利数学家给出。⾯对这样漂亮的结果，数学界迎来了下⼀个挑战：探寻五次和五次以上⽅程的解能否通过对⽅程的系数做加、減、乘（包括乘⽅) 、除和开⽅（求正整数次⽅根) 运算的公式得到。但是经过以后近 300 年的努⼒，⼀直没有得到结果。在这期间，⼏位数学家的卓越⼯作是值得⼀提的。

在 1770 年前后，法国数学家拉格朗⽇（Lagrange) 利⽤统⼀的⽅法（现在称为拉格朗⽇预解式⽅法) ，详细分析了⼆、三、四次⽅程的根式解法，提出⽅程根的排列与置换理论是解代数⽅程的关键所在，他的⼯作有⼒地促进了代数⽅程论的进步，但他的这种⽅法却不能对⼀般五次⽅程求解。

在 1824 ～ 1826 年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Abel) 严格证明了：对于⽅程 $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ ，如果其次数 $n\geq 5$ ，那么任何⼀个由这些系数组成的根式都不可能是⽅程的根。这样，五次和⾼于五次的⼀般⽅程的求解问题就由阿贝尔解决了，他还考虑了⼀些待殊的能⽤根式求解的⽅程，其中的一类现在被称为阿贝尔⽅程。

在阿贝尔的⼯作之后，数学家所⾯临的⼀个问题就是：什么样的特殊⽅程能够⽤根式求解？这个问题稍后被同样年轻的数学家伽罗⽡解决了，对⽅程的根式可解问题的研究直接导致了群论的建⽴。

伽罗⽡继承和发展了前⼈及同时代⼈的研究成果，融会贯通了他们的数学思想，并且凭着对数学特性的⼀种直觉，超越了他们。他⾸先提出了根的置换概念，注意到每个⽅程都可以与⼀个置换群（伽罗⽡群) 联系起来，⽅程实际上是⼀个其对称性可⽤群的性质描述的系统。这样，伽罗⽡就把⽅程的根式解问题转化为群论问题来解决。⽽且他最终以群论为⼯具，为⽅程的根式解问题提供了全⾯⽽透彻的解答。⼈们为了纪念他，把⽤群论的⽅法研究⽅程根式解的理论称为伽罗⽡理论。

更重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，在错综复杂的现象中寻求共同的结构，把偏重计算研究的思维⽅式转变为⽤结构观念研究的思维⽅式。群论迅速发展成为⼀门崭新的数学分⽀，对近世代数的形成和发展产⽣了巨⼤影响。群是⼀个⾼度抽象的概念，群论对于数学的其他分⽀，如数学分析、⼏何学的发展，对于物理学、化学的发展，甚⾄对于⼆⼗世纪结构主义哲学的产⽣和发展都发⽣了巨⼤的影响。

基本符号：

$\mathbb{Z}$ 是整数集合(即所有整数，包括正整数，负整数和零)
$\mathbb{Q}$ 是有理数集合(即可以表示为整数商的数 $p/q$ ，其中 $q\neq 0$ )
$\mathbb{R}$ 是实数集合； $\mathbb{C}$ 是复数集合
$\mathbb{Z}^+,\mathbb{Q}^+,\mathbb{R}^+$ 分别是 $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 的正数集合
$\mathbb{Z}^*,\mathbb{Q}^*,\mathbb{R}^*,\mathbb{C}^*$ 分别是 $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 的非零数集合
设 $S$ 是一个集合， $f,g,h$ 是 $S$ 到 $S$ 的映射，容易证明复合映射满足结合律： $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$
设 $A,B$ 为两个集合，则集合 $A\times B=\{(a,b): a\in A,b\in B\}$ 称为 $A$ 和 $B$ 的笛卡儿积(Cartesian product)
设函数 $y=f(x)$ 是集合 $X$ 到 $Y$ 的映射 $f:X\to Y$ ，函数 $f$ 的值域(range)记作 $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$
对于映射 $f:X\to Y$ ，若当且仅当 $x_1=x_2$ 时， $f(x_1)=f(x_2)$ 成立，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射(injective)；若对 $\forall y\in Y$ 都存在 $x\in X$ 满足 $f(x)=y$ ，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的满射(surjective)；若 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 为双射(bijective)或一一映射(one-to-one)

群

对称(Symmetry)无处不在，但却在很长的一段时间内都没有很好的数学工具去描述它。直到 1831 年，天才的法国数学家伽罗瓦提出了群论。现代数学开始了对事物对称性的深层次探讨。让我们先从一个不严谨的示例引出群的概念。

在中学代数中，一个关键的目标是学习如何解方程，例如 $5+x=2$ 和 $2x=3$ 。下面来仔细研究解这类方程的步骤：

对于方程 $2x=3$ 可以用有理数乘法运算进行类似的分析。检查所使用的步骤，我们可以看到：如果集合 $S$ 上有一个运算 $*$ 满足结合律、单位元、逆元，并且计算结果仍然在 $S$ 中（结果有意义) 。那么形如 $a*x=b$ 的方程可以用解 $5+x=2$ 和 $2x=3$ 的步骤来解出 $x$ 。这四个基本性质便引出了抽象群的定义。

群的定义 设 $G$ 是⼀个⾮空集合， $\cdot$ 是 $G$ 上的⼀个代数运算，如果满⾜以下条件：

封闭性 ：对于 $\forall a,b\in G$ ，满足 $a\cdot b\in G$ 。
单位元：存在 $e\in G$ ，对于 $\forall a\in G$ 都有 $a\cdot e=e\cdot a=a$ 。元素 $e$ 称为单位元 (identity element)，也称幺元。
逆元：对于 $\forall a\in G$ ，都存在相应的 $b\in G$ ，使得 $a\cdot b=b\cdot a=e$ 。把 $b$ 称为 $a$ 的逆元 (inverse element)，记作 $a^{-1}$ 。
结合律[^associative] ：对于 $\forall a,b,c\in G$ ，都有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

那么，我们把集合连同它的运算称为群 (Group)，记作 $(G,\cdot)$ 。在不混淆的情况下，也可简称 $G$ 。群的二元运算通常称为乘法，称 $a\cdot b$ 为 $a$ 和 $b$ 的积，可简写为 $ab$ 。

[^associative]: 结合律在函数表示下 $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$

群 $G$ 的元素个数称为 $G$ 的阶(order)，记作 $|G|$ 。如果群 $G$ 的元素个数有限，那么称 $G$ 为有限群，否则称为无限群。

如果群 $(G,+)$ 的二元运算还满足交换律，即 $\forall a,b\in G$ ，都成立 $a+b=b+a$ ，则称 $(G,+)$ 是一个 Abel 群（Abelian group) 或 交换群(communicate group)。习惯上 Abel 群的二元运算使用加号 $+$ 表示。

群的例⼦：

数集 $\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z}$ 在加法下均构成 Abel 群。单位元是 0，逆元是负数；
正数集 $\mathbb{R}^+,\mathbb{Q}^+$ 和非零数集 $\mathbb{C}^*,\mathbb{R}^*,\mathbb{Q}^*$ 在乘法下均构成 Abel 群，单位元是 1，逆元是倒数；
全体 $n$ 次单位根 $U_n=\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}$ 在复数乘法下构成群，单位元是1，逆元是共轭复数 $\bar z$ ；
复平面上的单位圆 $U=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ 在复数乘法下构成 Abel 群，单位元是 1，逆元是共轭复数 $\bar z$ ；
向量空间 $\mathbb{R}^n$ 连同向量加法构成 Abel 群，单位元是 0 向量，逆元是负向量；
对于 $n\in\mathbb{N}^*$ ，定义有限整数集 $\mathbb{Z}_n=\{0,1,\cdots,n-1\}$ ，则 $(\mathbb{Z}_n,+_n)$ 构成 Abel 群。其中，二元运算 $a+_nb=(a+b)\mod{n}$ 叫做模 $n$ 加法(addition modulo $n$ )，或者随意⼀点，叫做钟表加法。单位元是 0 ，元素 $a$ 的逆元是 $n-a$ ；事实上，不限于整数，可以定义实数区间 $\mathbb{R}_c=\{x\in\mathbb{R}:0\leqslant x<c\}$ ，则 $(\mathbb{R}_c,+_c)$ 也构成 Abel 群；
全体 $n$ 阶可逆方阵 $\{A:\det(A)\neq0\}$ 在矩阵乘法运算下构成一般线性群 ，通常记为 $GL_n(\mathbb{R})$ 。单位元是单位矩阵，逆元是逆矩阵。
行列式为 1 的 $n$ 阶方阵 $\{A:\det(A)=1\}$ 在矩阵乘法运算下构成特殊线性群，通常记为 $SL_n(\mathbb{R})$ 。单位元是单位矩阵，逆元是逆矩阵。

群的基本性质：设群 $(G,\cdot)$

群的单位元是唯一的；
群元素的逆元是唯一的；
群中消去律成立： $\forall m,a,b\in G$ ，如果 $ma=mb$ 或 $am=bm$ 则 $a=b$ ；
乘积的逆： $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ；

证明：(1) 因为若有两个单位元 $e,e'$ ，则 $e=ee'=e'$ 。

(2) 因为若 $b,c$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b=b(ac)=(ba)c=c$ 。

(3) 对 $ma=mb$ 左乘 $m^{-1}$ 得到 $m^{-1}ma=m^{-1}mb$ ，于是 $a=b$ 。右乘同理。

由于群运算满足结合律，我们可以定义幂运算。对于 $a\in G,\ n\in\mathbb{N}^*$

$a^n:=\underbrace{a\cdots a}_{n\text{ times}}$

同样定义 $a^0:=e$ 和 $a^{-n}:=(a^{-1})^n$ 。容易验证 $\forall s,t\in\mathbb{Z}$ ：

$a^sa^t=a^{s+t},\quad (a^s)^t=a^{st}$

当群运算符号写成加号时，单位元记为 0 。将元素 $a$ 的逆元记为 $-a$ ，幂运算记号用 $na=a+\cdots +a$ 代替，这些记号与实数加法是一样的。

示例1：令 $H=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ ，并规定乘法运算满足

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,\\ ij=k,\ jk=i,\ ki=j$

可以验证 $H$ 构成群，称为四元数群。

示例2：4次单位根群 $U_4=\{1,-1,i,-i\}$ 中 $|1|=1,\ |-1|=2,\ |i|=4,\ |-i|=4$ 。

低阶群与乘法表

1阶群：由于一个群至少有一个元素，即单位元，所以可能产生群的最小集合是单元集 $\{e\}$ 。在 $\{e\}$ 上唯一可能的二元运算是由 $e\cdot e=e$ 定义的。群的四个公理都成立。群的单位元的逆元总是它自己。

2阶群：易知满足群的四个公理的2阶群只有一个 $G=\{e,f\}$ ，元素 $f^{-1}=f$ ，即 $f^2=e$ 。为了⽅便，我们可以⽤⼀个乘法表来列出二元运算的结果：

当然，我们还可以使用模加法群 $(\mathbb{Z}_2,+_2)$ 来表示这个2阶群：

尽管这两个群从表面上看是不同的，但他们在结构上确是一模一样，这在数学上称为同构。同构的两个群结构完全一致，可以看成是群元素重新标记。如果只关心群的结构，两个同构的群完全没有必要区分。

群同构：给定两个群 $(G,\cdot)$ 和 $(H,*)$ ，若映射 $\phi: G \to H$ 是双射，且对于 $\forall a,b\in G$ 都能保持群运算，即

$\phi(a\cdot b)=\phi(a)*\phi(b)$

则称映射 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $H$ 的一个同构映射，此时称群 $G$ 与群 $H$ 同构(isomorphism)，记作 $G\cong H$ 。

示例1：奇数(odd)和偶数(even)的加法性质构成的群，同构于 $\mathbb{Z}_2$ 的模加法群

3阶群：同构意义下满足群公理的3阶群有且只有一个 $G=\{e,a,a^2\}$ 。它的乘法表如下

从上面可以得到：所有的1阶群都是同构的，所有的2阶群都是同构的，所有的3阶群都是同构的。下面我们来看下4阶群。

4阶群：通过探索群乘法表，4阶群我们总共可以找到两个。一个很显然是 $\mathbb{Z}_4$ ，另一个称为Klein四元群，记为 $V_4=\{e,v,h,r\}$ 。Klein四元群描述的其实是长方形的对称性，其中 $h$ 和 $v$ 分别表示水平翻转和垂直翻转， $r$ 表示旋转180度。

显然， $V_4$ 中元素的复合操作构成一个群，它的乘法表如下

从乘法表中，容易观察到 $V_4$ 也是 Abel 群。

生成集与凯莱图

从上节 $V_4$ 群的乘法表，我们发现群中的任意元素都可以通过子集 $\{h,v\}$ 内元素的群运算得到

$h^2=e,\ v^2=e,\ r=hv=vh$

一般地，给定群 $G$ 中的子集 $S$ ，若 $G$ 中每个元素都能表示为 $S$ 中元素及其逆元的有限乘积，则称 $S$ 是 $G$ 的生成集，记作 $G=\langle S\rangle$ 。当 $S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 时，把 $\langle S\rangle$ 简记为 $\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle$ 。特别地，当 $S=\{a\}$ 是单元素集合，则记作 $\langle a\rangle$ ，元素 $a$ 称为生成元(generator)。

群 $G$ 是自身的平凡生成集，但无实际意义，我们重点关注的是由群中少数元素组成的非平凡生成集。实际上，我们可以用生成集绘制群图像，称为凯莱图(Cayley digraph)

在凯莱图中， $G$ 的每个元素对应一个顶点。 $S$ 中的每个生成元对应一条弧，不同生成元对应的弧可以用不同颜色标识。基于这些符号，如果在凯莱有向图中出现 $x\to y$ ，就意味着 $xa=y$ 。也就是说，沿着箭头方向经过一条弧，表示对弧的起始点的元素 $x$ 右乘该弧对应的生成元 $a$ 得到弧末尾的元素 $y$ 。当然，沿着与箭头相反的方向经过该弧，相当于右乘生成元的逆元。如果对应的生成元的逆元是它自己，通常省略弧中的箭头。同时，弧的长度和形状以及弧之间的角度都不具有群论意义。

凯莱图是连通的，也就是说，可以从任何一个顶点 $g$ ，连续经过弧，到达任何一个顶点 $h$ 。也就是说，群中每个方程 $gx=h$ 都有解。

凯莱图可以很直观的表达群元素之间的运算关系。我选择 $V_4$ 做为第一个凯莱图的例子，是因为它非常简单，我们能够快速轻松的画出来。

下图给出了一些其他简单群的凯莱图，以便更好的了解抽象群的凯莱图的特点

注意，生成集并不是唯一的，我们还可以基于生成元 $\langle f,r\rangle$ 同样构造 $V_4$ 群，其中 $f$ 表示水平翻转， $r$ 表示旋转180°。它对应的乘法表和凯莱图如下

循环群

平面等距变换是将平面上的点集一一对应到平面本身，并且保持两点距离不变的映射。如果 $\phi$ 是平面上的等距变换，而 $P,Q$ 是平面上的点，那么 $P$ 和 $Q$ 之间的距离就等于 $\phi(P)$ 和 $\phi(P)$ 之间的距离。平移和旋转就是等距变换。

当一个平面几何图形进行等距变换后，它仍与自身重合，那么就说它是对称的，这样的变换称为平面对称变换 。当然，把几何图形上的所有点映到它⾃⾝，这也是一种对称变换，称为恒等变换。

我们日常接触过⼤量的对称图形，如等腰三角形、平⾏四边形、正六边形等。

循环群是最基本的群族，描述的是仅有旋转对称的物体。如下图硼酸分⼦ B(OH)~3~，它的三个旋转变换构成群 $G=\{e,a,a^2\}$ ，其中 $a$ 表示顺时针旋转 120° 。当然，你可以反⽅向旋转或者多次旋转，但这些操作都可以由这个基本旋转连续操作来得到。

注意：如果有两个变换的结果是一样的，就认为它们是同一个变换。例如，旋转 360 度和旋转 0 度的效果完全一样，所以不能算作新变换。

这样仅由一个元素生成的群的结构非常简单，这样的群称为循环群。3阶循环群记作 $C_3$ ，它的乘法表和凯莱图如下

其实，对于给定正 $n$ 边形，将顺时针旋转 $(360/n)\degree$ 的对称变换记作 $a$ ，则它的全体旋转变换构成 $n$ 阶循环群 $C_n=\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}$ 。这里， $a^k$ 指重复 $k$ 次 $a$ 的结果，即旋转 $(360k/n)\degree$ ，而 $e=a^0$ 指恒等变换。

循环群：如果群 $G$ 中存在元素 $a$ 使得 $G=\langle a\rangle$ ，则称为循环群（cyclic group) 。记作

$C_n=\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}$

其中 $a$ 是 $C_n$ 的生成元。

一类最经典的循环群的例子就是模 $n$ 加法群 $\mathbb{Z}_n$ ，而借助这一类群可以通过同构给出所有循环群的刻画。

$C_n\cong(\mathbb{Z}_n,+_n)$

现在我们给出循环群的凯莱图。下图最右边的凯莱图⽤了省略号，表示⽆论 $n$ 取什么值， $C_n$ 的凯菜图总是⼀个圆圈。

下面是连接 $C_6$ 凯莱图的四种⽅式，不同的⽅式基于不同的⽣成元

基本性质：

循环群⼀定是 Abel 群；
循环群的子群一定是循环群；
任何无限循环群同构于 $\mathbb{Z}$ ；任何 $n$ 阶循环群同构于 $\mathbb{Z}_n$ ；

示例1：模 $n$ 加法群 $(\mathbb{Z}_n,+_n)$ 是循环群。如果 $n>1$ ，那么

$(\mathbb{Z}_n,+_n)=\langle1\rangle=\langle n-1\rangle$

示例2：整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是一个无限循环群。1 和 -1 都是这个群的生成元，它们也是仅有的生成元

$(\mathbb{Z},+)=\langle1\rangle=\langle-1\rangle$

示例3：对于 $n\in\mathbb{N}^*$ 加法群 $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in\mathbb{Z}\}$ 是循环群

$n\mathbb{Z}=\langle n\rangle$

示例4： $n$ 次单位根群 $U_n$ 是一个循环群

$(U_n,\cdot)=\langle e^{2\pi i/n}\rangle$

元素的阶：设 $G$ 是群，则定义元素 $a\in G$ 的阶(order)为

$|a|=\min\{n\in\mathbb{Z}^+:a^n=e\}$

若不存在这样的正整数，则称 $a$ 的阶为0。群元素的阶常用来识别群之间的同构关系。

说明：对于有限群 $G$ ，任意元素 $a\in G$ ，循环序列 $\{a^k:a\in G, k\in\mathbb{N}\}$ 都是 $G$ 的子集。这是因为， $G$ 只有 $|G|$ 个不同的元素。由于群的封闭性，如果幂序列的个数超过群的阶，则必然存在两个不同的正整数 $i<j$ 使得 $a^i=a^j$ ，即 $a^{j-i}=e$ 。

示例5：有理数乘群 $(\mathbb{Q}^*,\times)$ 中1的阶是1，-1的阶是2，其余元素的阶都是无限的。

推论：

在有限循环群 $C_n=\langle a\rangle$ 中，元素
$|a^k|=\frac{n}{\gcd(k,n)}$
有限循环群 $C_n$ 有 $\varphi(n)$ 个生成元，其中 $\varphi(n)$ 为 Euler 函数，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互素的数的个数。

二面体群

循环群描述的是只具有旋转对称的物体，⼆⾯体群描述的则是同时具有旋转对称和轴对称的物体。最简单的具有旋转对称和轴对称的⼏何图形是正多边形。

下⾯我们先来考察⼀下正三角形的对称变换。为了体现变换的效果，我们对三个顶点做了编号。

如果把顺时针旋转120°记为 $r$ ，过顶点1的对称轴的翻转变换记为 $f$ 。可以验证，任何正三角形的对称变换都可以通过旋转和翻转的复合得到。下面给出了全部 6 个对称变换：

把正三角形上的所有点映到⾃⾝的恒等变换 $e$ ；
绕正三角形中心顺时针旋转120°和240°的变换 $r,r^2$ ；
关于三个对称轴的翻转变换 $f,fr,fr^2$ 。

习惯上，把正三角形对称变换的集合记作

$D_3=\{e,r,r^2,f,fr,fr^2\}$

显然，任意两个对称变换的复合仍然是⼀个对称变换。例如，先做旋转变换 $r$ 再做翻转变换 $f$ ，图形表示如下

这样，我们得到了复合变换 $f\circ r$ 。可以看出来这个复合变换等价于翻转变换 $fr$ 。我们熟悉的数字的乘法按从左到右的顺序进⾏，⽽对称变换的合成习惯上按从右到左的顺序进⾏。

实际上 $D_3$ 是一个 6 阶对称群，它的乘法表如下：

$D_3$ 是我们接触到的第一个非 Abel 群，对于乘法表中合成的次序必须有⼀个明确的规定。习惯上，按照先做列变换，再做⾏变换的次序得到这些合成的结果。

$D_3$ 的凯莱图如下：

从图中可以看出， $D_n$ 凯莱图中的元素可以分成内环和外环两部分，外环构成循环群 $C_n$ ，⾥⾯是⼀个与外环阶数相同的圈，但是方向相反。内环上的上的所有对称变换都可以写成 $fr^k$ 的形式。

定理：⼀般地，给定正 $n$ 边形，它的全体旋转和关于对称轴翻转的操作构成对称群，称为二面体群（dihedral group) ，记作 $D_n$ 。将顺时针旋转 $(360/n)\degree$ 的对称变换记作 $r$ ，并将沿某个给定对称轴翻转的操作记作 $f$ ，则群 $D_n$ 的操作可以写作

$D_n=\{e,r,r^2,\cdots,r^{n-1},f,fr,fr^2,\cdots,fr^{n-1}\}$

这里， $r^k$ 依然是旋转操作，而 $fr^k$ 虽然是先进行 $k$ 次旋转再沿给定对称轴翻转，但是可以等价地看作沿着另一个对称轴翻转。二面体群群的阶 $|D_n|=2n$ 。

下面来简易证明下这个定理：(1) 先证明 $D_n$ 有 $2n$ 个元素。容易发现，正 $n$ 边形的对称变换可以用相应顶点的变换来表示。如果把顶点集 $\mathbb{Z}_n$ 映射到顶点集 $\mathbb{Z}_n$ ，顶点 0 有 $n$ 个可能的象。设 $y$ 是顶点 0 的象，由于 $y$ 由边连接到恰好两个顶点，所以 1 必须映射到这两个顶点中的一个。因此，在确定顶点 0 的象之后，1 的象只有两个选择。在确定顶点 0 和 1 的象之后，其余的象是固定的。这意味着 $D_n$ 有 $2n$ 个元素。

如前所见，由于 $D_n$ 中的每个元素都可以写成 $r^k$ 或 $fr^k$ 的形式，所以 $\langle f,r\rangle$ 是二面体群的生成集。此外，由于 $r=f(fr)$ ，所以 $\langle f,fr\rangle$ 也是生成子集。二面体群对应的凯莱图如下：

乘法表是群的一种代数描述，它鼓励和支持我们使用等式来描述群元素之间的关系，而这样的等式在凯莱图中是通过箭头来表示的。如考虑 $D_3$ 的凯莱图，等式 $frf=r^{-1}$ 成立，因为 $frf$ 的路径和 $r^{-1}$ 的路径结果一样。这种代数模式不仅出现在凯莱图的某部份，⽽是适⽤于整个图的每⼀个结点。这种统一的对称被称为正则性，不具有正则性的图不能表示群。

基本性质：设循环群 $D_n=\langle r,f\rangle$

$r^n=f^2=e$
$(r^k)^{-1}=r^{n-k}$
$rf=fr^{-1}$
$(fr^k)^{-1}=fr^k$

对称群

对称群是群论中很重要的⼀类群。群论最早就是从研究对称群开始的，利⽤这种群，Galois成功地解决了代数⽅程是否可⽤根式求解的问题。

置换：一个集合 $S$ 到自身的一个双射 $\sigma$ 称为该集合的一个置换（permutation) 。

置换是对⼀系列元素进⾏重排列的作⽤，它可以描述牌桌上的洗牌或者⼀个单词中字母的重组。

上图中是集合 $S=\{1,2,3,4\}$ 的三个置换。将上图中的三个置换分别记为 $f,g,h$ ，分别表示映射：

$f:1\mapsto2,\ 2\mapsto3,\ 3\mapsto4,\ 4\mapsto1 \\ g:1\mapsto1,\ 2\mapsto3,\ 3\mapsto2,\ 4\mapsto4 \\ h:1\mapsto4,\ 2\mapsto3,\ 3\mapsto2,\ 4\mapsto1$

置换通常写成双行记号：

$f=\begin{pmatrix}1&2&3&4 \\2&3&4&1\end{pmatrix}, \quad g=\begin{pmatrix}1&2&3&4 \\1&3&2&4\end{pmatrix}, \quad h=\begin{pmatrix}1&2& 3 & 4 \\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$

置换的表示不是唯一的，如果将第一行的顺序打乱，则对应的第二行的像也会有不同的顺序。

置换还可以沿着传播链条写成单行的闭环形式，称为轮换表示：

$f=(1234),\quad g=(23),\quad h=(14)(23)$

同时因为置换是双射，所以总有相应的逆置换。双行表示中只要互换第一、第二行就可以了。轮换表示中，逆置换只要把每个轮换元素的书写顺序倒过来就可以了。

$f^{-1}=(4321),\quad g^{-1}=(23),\quad h^{-1}=(14)(23)$

置换乘法就是置换的复合

$g\circ f=\begin{pmatrix}1&2&3&4 \\1&3&2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&3&4 \\2&3&4&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3&4 \\3&2&4&1\end{pmatrix}$

简单来说就是先经过 $f$ 的映射，再经过 $g$ 的映射。

注意：置换的复合的运算顺序一般自右向左的，且不满足交换律，所以使用错误的顺序计算可能会导致错误的结果。

对称群：非空集合 $X$ 上的所有置换构成的集合关于置换乘法构成一个群，称为 $X$ 的对称群(symmetric group) ，记作 $\text{Sym}(X)$ 或 $S_X$ 。有的课本也称为置换群(permutation group)，记作 $\text{Perm}(X)$ 。

置换讨论的是元素间的对应关系，而并不关心元素具体是什么。当 $X$ 为大小为 $n$ 的有限集合时，为方便起见，通常用 $X=\{1,2,\cdots,n\}$ 表示，对应的对称群记作 $S_n$ 。全体置换的数目就是他们的全排列数量 $n!$ 。

置换群乘法表中的每列都对应于一个置换。同时由于群的重排定理，群乘法表的每列都是对群元素的重排列。因此，每个群都同构于对称群的一个子群。

Cayley 定理：任何群都同构于对称群的一个子群。

例如， $D _3\cong S_3=\{(1),(123),(132),(12),(23),(31)\}$

交错群

长度为 $k$ 的轮换也称作 k‑轮换（k-cycle)

1‑cycle 就是恒等置换，通常写作 $(1)$ 。
2‑cycle也称作对换（exchange) 。就是只交换了两个元素的位置。
k-cycle可写作两个对换的乘积。比如 $(124)=(14)(12)$ 。

定理：每个置换都可表示为不相交轮换之积，每个轮换都可表示为对换之积。因此，每个置换都可表示为对换之积。

我想在这里就没必要长篇大论地证明这一点了，给出例子应该就能表达清楚。

(1) 任何⼀个置换都可以把⼀个轮换按连贯顺序紧靠在⼀起，⽽把不动的数放在最后。例如

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\ 3&5&6&4&2&1&7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&3&6&2&5&4&7\\ 3&6&1&5&2&4&7\end{pmatrix}=(136)(25)$

即置换 $\sigma$ 表示成了不相交的轮换的乘积。不相交的轮换乘积自然满足交换律。

(2) 由置换的乘法知道，任何轮换都可以写成一系列对换的乘积。例如：

$(12356)=(12)(23)(35)(56)$

然而，将轮换分解成对换乘积的方式并不是唯一的。例如，始终可以在乘积前面加上两个对换 $(12)$ ，因为 $(12)(12)$ 是恒等映射。但是，==一个置换分解中对换的数目的奇偶性是固定的==。能够分解成偶数个对换乘积的置换叫做偶置换，能够分解成奇数个对换乘积的置换叫做奇置换。由于任何奇置换乘上⼀个对换后变为偶置换，⽽偶置换乘上⼀个对换后变为奇置置换，故 $S_n$ 的奇置换和偶置换的数目相同。

注意到，偶置换在置换乘法下满足封闭性，从而所有偶置换可以单独构成群。

定理：对称群 $S_n$ 中全体偶置换构成子群，称为 $n$ 次交错群(alternating group) $A_n$ ，且 $A_n\lhd S_n$ 。

下面是交错群 $A_6$ 的凯莱图，容易看出它同构于二面体群 $D_3$

多面体群

多面体群（polyhedral group) 是正多面体的空间对称群。三维空间中的正多⾯体只有五种，我们把它们称为柏拉图⽴体。

如果保持点、棱、面之间的邻接关系，交换点和面，可以得到对偶的正多面体。其中，正四面体和它自身对偶，正方体和正八面体对偶，正十二面体和正二十面体对偶。利用对偶关系，可以简化它们的空间对称群的讨论。

只计三维空间中可以进行的旋转操作，它们的空间对称群只有三种。

四面体群（tetrahedral group) ，即正四面体的空间对称群 $A_4$ ：

恒等变换；
绕顶点和对面中心的连线旋转 $120\degree$ 和 $240\degree$ ；
绕对边的中点的连线旋转 $180\degree$ 。

共计 $1+2×4+1×3=12$ 个对称变换。

八面体群（octahedral group) ，即正方体（和正八面体) 的空间对称群 $S_4$ ：

恒等变换；
绕相对顶点的连线旋转 $120\degree$ 和 $240\degree$ ；
绕相对的棱的中点的连线旋转 $180\degree$ ；
绕相对的面的中心的连线旋转 $90\degree$ ， $180\degree$ 和 $270\degree$ 。

共计 $1+2×4+1×6+3×3 =24$ 个对称变换。

正八面体的置换群类似，只是要将顶点和面的角色对换。

二十面体群（icosahedral group) ，即正十二面体（和正二十面体) 的空间对称群 $A_5$ ：

恒等变换；
绕相对顶点的连线旋转 $120\degree$ 和 $240\degree$ ；
绕相对的棱的中点的连线旋转 $180\degree$ ；
绕相对的面的中心的连线旋转 $72\degree$ ， $144\degree$ ， $216\degree$ 和 $288\degree$ 。

共计 $1+2×10+1×15+6×4 =60$ 个对称变换。

正二十面体的置换群类似，只是要将顶点和面的角色对换

商群与同态

子群

前面章节已经注意到，有的较大的群包含了一些小群。例如， $C_2=\{e,f\}$ 和 $C_3=\{e,r,r^2\}$ 都包含在 $D_3$ 中。

子群：设 $(G,\cdot)$ 是群，若非空子集 $H\subseteq G$ 对同一种运算 $\cdot$ 也构成群，那么称 $(H,\cdot)$ 为 $(G,\cdot)$ 的子群(subgroup)，记为 $(H,\cdot)<(G,\cdot)$ 。

每个群都有两个明显的子群 $\{e\}$ 和 $G$ ，称为 $G$ 的平凡子群(trivial subgroup)。

要判断给定子集 $H\subseteq G$ 是不是子群，并不需要逐一验证群的定义。因为结合律自然成立，子集成为子群，只要保证它对二元运算封闭、有单位元且对取逆封闭就好了。

子群是普遍存在的：

$\mathbb{Z}_4$ 有唯一非平凡子群 $\{0,2\}$ ；
Klein四元群 $V_4$ 有三个非平凡子群 $\{e,h\},\{e,v\},\{e,r\}$ ；
二面体群 $D_3$ 有四个非平凡子群 $\{e\},\ \{e,f\},\ \{e,fr\},\ \{e,fr^2\},\ \{e,r,r^2\}$ ；一般地，二面体群 $D_n$ 有循环子群 $\langle r\rangle=\{e,r,r^2,\cdots,r^{n-1}\}$ 和 $\langle fr^k\rangle=\{e,fr^k\},\forall k\in\mathbb{Z}_n$ ；
数域加法子群链： $(n\mathbb{Z},+)<(\mathbb{Z},+)<(\mathbb{Q},+)<(\mathbb{R},+)<(\mathbb{C},+)$
数域乘法子群链： $(\mathbb{Q}^*,\times)<(\mathbb{R}^*,\times)<(\mathbb{C}^*,\times)$
矩阵乘法子群链： $SL_n(\mathbb{R})<GL_n(\mathbb{R})$

基本性质：设 $H_1,H_2$ 是 $G$ 的子群，则 $H_1\cap H_2$ 也是 $G$ 的子群。

对于一个群，绘制由子群构成的哈斯图(Hasse diagram)通常是有用的：

在顶端放整个群，底端放平凡⼦群 $\{e\}$ ；
⼦群放在中间，⼦群越⼤，放的位置越靠上；
⽤垂线或斜线将较⼩的⼦群与包含它的较⼤的⼦群连接起来。

下⾯是4阶群的两个例⼦

Lagrange 定理

陪集：设 $G$ 为群， $H< G$ ，对于元素 $g\in G$

集合 $gH=\{gh: h\in H\}$ 称为 $H$ 的左陪集(left coset)；
集合 $Hg=\{hg: h\in H\}$ 称为 $H$ 的右陪集(right coset)；

陪集中的元素称为陪集的代表元(representative element)。在 Abel 群中，右陪集和左陪集是相同的，此时，可以忽略左或右，只说陪集。

乘法表中的一行(列)的对应元素就是子群的左(右)陪集。

基本性质：设 $H< G$ ，元素 $a,b\in G,h\in H$ 。则

$a\in aH$
$|aH|=|Ha|=|H|$
$hH=Hh=H$
$(ab)H=a(bH)$
$b\in aH\iff aH=bH$
$aH=bH \iff a^{-1}b\in H$

证明：(5) 令 $b=ah$ ，那么 $bH=ahH=aH$ 。

也就是说，子群 $H$ 的任意两个左(右)陪集，它们要么完全相等要么完全不相交。那么，对于子群 $H$ ，一定存在一种方法将群 $G$ 平均划分为不同的几个陪集。

例如，二面体群 $D_3$ 可以划分成 $e\langle f\rangle\cup r\langle f\rangle \cup r^2\langle f\rangle$

Lagrange 定理：子群 $H< G$ 的阶 $|H|$ 整除群 $G$ 的阶 $|G|$ 。

$|G|=[G:H]|H|$

其中，比值 $[G:H]$ 称为群 $G$ 中子群 $H$ 的指数(index)，表示子群 $H$ 的不同左(右)陪集的个数。

任何⼦群的阶和指数都是群 $G$ 的阶的因数。Lagrange 定理在很大程度上减小了子群存在的可能性。

指数 $[G:H]$ 可以是有限的，也可以是无限的。如果 $G$ 是有限的，那么显然 $[G:H]$ 是有限的。例如

$[D_3:\langle f\rangle]=\frac{|D_3|}{|\langle f\rangle|}=\frac{6}{2}=3$

推论：

素数阶群必为循环群；
有限群元素的阶总是整除群的阶；
设 $K<H<G$ 。若 $[H:K]$ 和 $[G:H]$ 都是有限的，那么 $[G:K]$ 是有限的，并且 $[G:K]=[G:H][H:K]$ 。

证明：(1) 设 $G$ 是群，元素 $a\in G$ 不是单位元，那么由 $a$ 可以生成循环子群 $\langle a\rangle$ 。根据Lagrange定理，如果 $\langle a\rangle$ 是非平凡子群，则 $|a|$ 必须整除 $|G|$ 。如果 $|G|$ 是素数，则必有 $|a|=|G|$ ，所以素数阶群都是循环群。

示例1： $\lang3\rangle < \mathbb{Z}$

示例2：四阶群在同构意义下只有循环群 $C_4$ 和Klein四元群 $V_4$ 两种。

证明：设 $G$ 是一个四阶群，元素 $\forall a\in G$ 不是单位元。根据Lagrange定理， $|a|$ 必为2或4。
情况1：若 $|a|=4$ 即 $|a|=|G|$ ，则 $G=\langle a\rangle\cong C_4$
情况2：设 $G=\{e,a,b,c\}$ 则 $|a|=|b|=|c|=2$ ，即 $a^2=b^2=c^2=e$ 。由群乘法的性质，我们能且只能得到 $ab=c,\ ac=b,\ bc=a$ 这一种结构。由乘法表或凯莱图我们能看出该群即为 $V_4$ 。
综上所述，四阶群在同构意义下只有循环群 $C_4$ 和Klein四元群 $V_4$ 两种。

正规子群和商群

一般情况下，子群的左右陪集并不相等。但是，有些子群 $H$ 对于任意元素满足 $aH=Ha$ ，具有这种性质的子群在群论的研究中特别重要。

正规子群：设群 $H< G$ ，若 $\forall g\in G$ ，都有

$gH=Hg$

则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群(Normal Subgroup)，记作 $H\lhd G$ 。显然，平凡子群 $G$ 和 $\{e\}$ 都是正规子群。

需要注意的是，上面的 $gH=Hg$ 并不代表对任意 $h\in H$ 都有 $gh=hg$ ，这只是集合整体的相等。进一步我们还有一些等价条件。

判定定理：设 $H\lhd G$ ，元素 $g\in G$ 。当且仅当

$gHg^{-1}\subseteq H$
任意 $h\in H,g\in G$ 使得 $ghg^{-1}\in H$

证明：(1) $\forall a\in G,\ aHa^{-1}\subseteq aH,\ aHa^{-1}\subseteq Ha\implies aH=Ha$

正规子群是非常重要的一类子群，原因之一就是基于正规子群的陪集集合 $\{gH:g\in G\}$ 可以定义商群。

要引出商群，我们先来定义陪集的乘法。设群 $G$ ，对于子集 $A\subseteq G$ 和 $B\subseteq G$ ，定义

$A\cdot B=\{ab:a\in A,b\in B\}$

用最原始的方法验证，子集乘法满足以下性质。

若 $H\lhd G$ ，对于 $\forall a,b\in G$ ，陪集乘法满足封闭性

$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$

显然，正规子群 $H$ 还起到单位元的作用

$H\cdot (gH)=(gH)\cdot H=gH$

正规子群 $H$ 的陪集都存在逆元

$(gH)\cdot (g^{-1}H)=H$

陪集乘法自然满足结合律。因此，我们可以定义基于正规子群陪集乘法下的群。

商群：设群 $H\lhd G$ ，全体陪集的集合

$G/H=\{gH:g\in G\}$

和乘法运算 $a,b\in G$

$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$

构成群。称为群 $G$ 模 $H$ 的因子群(factor group)或商群(quotient group)。

下图是 $Q_4$ 关于 $H=\langle-1\rangle$ 的商群

另外，由于商群 $G/H$ 中的元素就是 $H$ 在 $G$ 中的陪集，由 Lagrange 定理得

$|G/H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$

商群可以将复杂的群简化，允许观察群的部分结构来了解原来群的结构。

在二面体群 $D_n$ 中， $\langle f\rangle$ 不是正规子群，而 $\langle r\rangle$ 是正规子群。商群 $D_n/\langle r\rangle=C_2$ 的意义非常显然。它相当于在所有这些对称操作中，忽视将正多边形旋转的操作，而只关注它是否将正多边形翻转。两个将正多边形翻转的操作的复合相当于没有翻转；但是，如果两个操作一个翻转而另一个没有，那么复合也必然翻转。

本节最后，我们来介绍由正规⼦群所界定的两类群：Hamilton群和单群。

定义：

每个⼦群都是正规⼦群的⾮Abel群，称为Hamilton群；
除平凡正规子群外，再不含其他正规子群的群称为单群（simple group) ;

单群没有办法简化为更小的群，如同素数一样，它们是组成更复杂的群结构的基石。已经证明，有限单群有且只有以下几类：

素数阶循环群 $C_p$
5 次及以上交错群 $A_n$
有限 Lie 型单群
26 个散在单群

在零散单群中，阶数最⼤的⼀个其阶数约为10^54^，常称为怪物群或魔群。

示例1： $A_n\lhd S_n$ 。因为 $\sigma,\sigma^{-1}\in S_n$ 有相同的奇偶性，所以 $\sigma A_n\sigma^{-1}\subseteq A_n$ 。

示例2： $\mathbb{Q}^*\lhd\mathbb{R}^*$ 。

示例3：对称群 $S_n\ (n\neq4)$ 的非平凡正规子群只有交错群 $A_n$ 。

群同态

群同态：给定两个群 $(G,\cdot)$ 和 $(G',*)$ ，如果映射 $\phi: G \to G'$ 对 $\forall a,b\in G$ 都能保持群运算，即

$\phi(a\cdot b)=\phi(a)*\phi(b)$

则称映射 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G'$ 的一个同态(homomorphism)。在此基础上若 $\phi$ 为单射，则称 $\phi$ 为单同态；若 $\phi$ 为满射，则称 $\phi$ 为满同态；若 $\phi$ 为双射，那么这个映射便是同构映射。

从可视化同态定义中，我们发现：同态不仅把定义域中的结点映射到陪域中的结点，同时把定义域中的凯莱图路径映射到陪域中的路径。例如下面 $D_3$ 的凯莱图

下面这个例⼦能帮助我们更好地理解同态的含义。

考虑如下映射 $\phi: D_6 \to\mathbb{Z}_2$ ：

$\phi(e)=\phi(r)=\phi(r^2)=0,\ \phi(f)=\phi(fr)=\phi(fr^2)=1$

容易验证， $\phi$ 是满同态。它的意义很明显，就是在群的每一个对称操作映射到其翻转的有无。

基本性质：设 $\phi:G\to G'$ 是群同态， $e,e'$ 分别是群 $(G,\cdot)$ 和 $(G',*)$ 的单位元：

$\phi(e)=e'$ ；
$\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1},\forall a\in G$ ；
若 $H< G$ ，那么 $\phi(H)< G'$ ；

也就是说，群同态保持了单位元、逆元和子群。

证明：(1) 因为 $e'*\phi(e)=\phi(e)=\phi(e)*\phi(e)$ ，由消去律可得到 $e’=\phi(e)$

(2) 因为 $e'=\phi(a\cdot a^{-1})=\phi(a)*\phi(a^{-1})$

(3) 单位元和逆元由性质1和2可证明。最后证明封闭性：设 $a’,b'\in \phi(H)$ ，不妨令 $a'=\phi(a),b'=\phi(b)$ 。则 $a'b'=\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)\in \phi(H)$ 。

下面是群同态的例子：

行列式映射 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$ 是群同态；
函数 $f(x)=e^x$ 定义的映射 $f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)$ 是双射群同态；
函数 $f(x)=\log x$ 定义的映射 $f:(\mathbb{R}^+,\cdot)\to(\mathbb{R},+)$ 是双射群同态；
函数 $f_k(n)=kn$ 定义的映射 $f_k:(\mathbb{Z},+)\to(k\mathbb{Z},+)$ 是双射群同态；

定理：设有限群 $G$ 和加法群 $\mathbb{Z}$

存在 $|G|$ 个群同态 $\phi:\mathbb{Z}\to G$ ；
不存在非平凡的群同态 $\phi:G\to\mathbb{Z}$ ；

证明：(1) 根据同态定义，对于 $\forall n\in\mathbb{Z},\ \phi(n)=\phi(1+1+\cdots+1)=\phi(1)^n$ 。因此， $\phi(n)$ 完全由 $\phi(1)$ 确定。反过来，任意选定的值 $\phi(1)\in G$ 都能唯一定义一个同态 $\phi$ 。共有 $|G|$ 个 $\phi(1)$ 值可选，所以，共有 $|G|$ 个同态。

(2) 因为 $G$ 是有限群，所以任意元素 $g\in G$ 的阶都是有限的。取 $\forall g\in G$ ，令 $n=|g|$ ，即 $g^n=e$ 。对于任意同态 $\phi:G\to\mathbb{Z}$ 有 $0=\phi(e)=\phi(g^n)=n\phi(g)$ ，所以 $\phi(g)=0$ 。因此， $\phi$ 把 $G$ 的所有元素都映射到 $\mathbb{Z}$ 的单位元 $0$ ，是平凡同态映射。

同态的核和像

同态的核和像：设 $\phi:G\to G'$ 是群同态

所有映射到 $G'$ 的单位元 $e'$ 的元素 $g\in G$ 称为同态 $\phi$ 的核(kernel)：

$\ker(\phi)=\{g\in G:\phi(g)=e'\}$
群 $G$ 中所有元素的像做成的集合 $\phi(G)$ 称为同态 $\phi$ 的像(image)：

$\text{Im}(\phi)=\{\phi(g):g\in G\}$

下图中同态 $\phi:D_3\to C_2$ 的核 $\ker(\phi)=\langle r\rangle$ 用红色表示

下图中同态 $\phi:C_3\to C_6$ 的像 $\text{Im}(\phi)=\{0,2,4\}$

基本性质：设 $\phi:G\to G'$ 是群同态

$\ker(\phi)< G$
$\text{Im}(\phi)< G'$
若 $\psi:G\to G'$ 是同态，则复合映射 $\psi\circ\phi:G\to G'$ 也是同态

证明：(1) 证明 $\ker(\phi)$ 构成群。为方便记 $N=\ker(\phi)$
单位元： $\phi(e)=e'\implies e\in N$
封闭性： $\forall a,b\in N,\ \phi(a\cdot b)=\phi(a)*\phi(b)=e'*e'=e'\implies a\cdot b\in N$
逆元： $\forall a\in N,\ \phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}=e'\implies a^{-1}\in\ker(\phi)$

(2) 证明 $\text{Im}(\phi)$ 构成群
单位元 $\phi(e)=e'\implies e'\in\text{Im}(\phi)$
封闭性： $\forall\phi(a),\phi(b)\in\text{Im}(\phi),\phi(a)*\phi(b)=\phi(a\cdot b)\in\text{Im}(\phi)$
逆元： $\forall\phi(a)\in\text{Im}(\phi),\phi(a)^{-1}=\phi(a^{-1})\in\text{Im}(\phi)$

(3) 对于 $\forall a,b\in G,(\psi\circ\phi)(ab)=\psi(\phi(ab))=\psi(\phi(a)\phi(b))=(\psi\circ\phi)(a)*(\psi\circ\phi)(b)$

推论：循环群同态的像必为循环群。

证明：设同态 $\phi:G\to G'$ ，循环群 $G=\langle a\rangle$ 。则 $b'=\phi(b)=\phi(a^k)=\phi(a)^k$ ，故 $\text{Im}(\phi)=\langle\phi(a)\rangle$ 是循环群。

示例1：同态 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$ ，它的核

$\ker(\det)=\{A\in GL_n(\mathbb{R})\mid\det(A)=1\}=SL_n(\mathbb{R})$

群同态基本定理

群同态基本定理：设 $\phi:G\to G'$ 是群同态，则

$\ker(\phi)\lhd G,\quad\frac{G}{\ker(\phi)}\cong\text{Im}(\phi)$

也就是说，模 $\ker(\phi)$ 得到的商群 $G/\ker\phi$ 同构于同态的像 $\text{Im}(\phi)$ 。

证明：为方便记 $N=\ker(\phi)$ 。

(1) 上节已经证明过 $N< G$ 。然后，对于 $\forall g\in G$ 有

$\phi(gNg^{-1})=\phi(g)*\{e'\}*\phi(g^{-1})=\{e'\}$

因此 $gNg^{-1}\subseteq N$ 。再利用正规子群的判定定理知 $N\lhd G$ 。

(2) 同构的证明关键在于找到合适的同构映射 $f:G/N\to\text{Im}(\phi)$ 。
注意到对于任意 $k\in N$ 有 $\phi(k)=e'$ ，因此同一陪集 $gN$ 中的任意元素 $gk$ 的像

$\phi(gk)=\phi(g)*\phi(k)=\phi(g)$

都相同，不妨定义陪集的映射

$f:gN\mapsto\phi(g)$

同态的像空间 $\text{Im}(\phi)$ 定义决定就是满射的。显然

$\forall\phi(g)\in\text{Im}(\phi),\ \exist g\in G,\ f(gN)=\phi(g)$

然后证明单射：即对于任意 $a,b\in G,\ f(aN)=f(bN)\implies aN=bN$ 。

由 $\phi(a)=\phi(b)$ 可得到

$\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a^{-1}a)=e'$

因此 $a^{-1}b\in N$ ，由陪集的基本性质可得 $aN=bN$

最后证明同态：对于 $\forall a,b\in G$ 有

$f((aN)(bN))=f((ab)N)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=f(aN)f(bN)$

综上所述， $G/N\cong\text{Im}(\phi)$ 。

我们可以把同态定理诠释为：任何同态都能通过⼀个商过程与适当的重命名来仿造。

上图意味着，图中从 $G$ 出发的两条不同路径上的映射的复合得到的结果是一致的，即 $\phi=q\circ i$ 。

上节给出的群同态 $\phi: D_3 \to C_2$ 的核是 $\langle r\rangle$ ，前文讨论正规子群时也已经说明 $D_3/\langle r\rangle$ 的确同构于 $C_2$ 。得到这样的结论并不为奇。这是因为在构造同态 $\phi: D_3 \to C_2$ 时，利用的正是商群 $D_3/\langle r\rangle$ 的几何意义。事实上，对每个商群，都可以构造出群同态，使得同态的像同构于给定的商群。

自然同态：对于群 $G$ 和其正规子群 $N\lhd G$ ，由 $\phi(g)=gN$ 给出的映射 $\phi: G\to G/N$ 是自 $G$ 到 $G/N$ 的满同态，称为自群 $G$ 到商群 $G/N$ 的自然同态（natural homomorphism) 。

这一结论也说明，对于任何给定群的正规子群，都能够找到对应的群同态，使得这一同态的核就是给定的正规子群。前文同态基本定理则说明，任何同态的核都是正规子群。故而，正规子群和同态的核是一体两面。

示例1：证明 $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^*$

证明：考虑同态映射 $\det:GL_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^*$ 。同态的核 $\ker(\det)=\{A\in GL_n(\mathbb{R}):\det(A)=1\}=SL_n(\mathbb{R})$ ，同态的像 $\text{Im}(\det)=\mathbb{R}^*$ ，证闭。

示例2：

$(\mathbb{Z},+)\lhd(\mathbb{R},+),\ \frac{(\mathbb{R},+)}{(\mathbb{Z},+)}\cong(\mathbb{R}_c,+_c)$

示例3：

$(n\mathbb{Z},+)\lhd(\mathbb{Z},+),\ \frac{(\mathbb{Z},+)}{(n\mathbb{Z},+)}\cong(\mathbb{Z}_n,+_n)$

下图所示的陪集为模 12 的同余类。按这些陪集组织群 $\mathbb{Z}$ 形成的是⼀个⽆限的螺旋。陪集在这个布局中的聚集⽅式显示出 $\cfrac{\mathbb{Z}}{\lang12\rangle}\cong \mathbb{Z}_{12}$

上图关于 $\mathbb{Z}/\langle 12\rangle$ 的分析适用于任何的 $\mathbb{Z}/\langle n\rangle$ 。任何 $\mathbb{Z}_n$ 都同构于 $\mathbb{Z}/\langle n\rangle$ ，相应的同态 $\phi$ 就是计算模 $n$ 的余数。当且仅当 $\phi$ 把它们映射到 $\mathbb{Z}_n$ 中的同⼀元素时，两个数才是模 $n$ 同余的 $a\equiv b\pmod{n}$ 。

同构定理

同态基本定理又称第一同构定理，下面我们不加证明的给出其他同构定理。

第二同构定理：设 $\phi:G\to G'$ 是同态映射，又 $N\lhd G,N'=\phi(N)$ 则

$G/N\cong G'/N'$

推论：设群 $H,N\lhd G$ 且 $N< H$ ，则 $(G/N)/(H/N)\cong G/H$ 。

第三同构定理：设 $G$ 是群，又 $H< G,N\lhd G$ ，则

$H/(N\cap H)\cong NH/N$

群的自同构

自同构：群 $G$ 与自身的同构映射 $\sigma:G\to G$ 称为自同构(automorphism)。所有自同构组成的集合

$\text{Aut}(G)=\{\sigma:\sigma\text{ is automorphism}\}$

在复合映射运算 $\sigma\tau=\sigma\circ\tau$ 下构成群，称为自同构群。说白了，自同构群就是一个保持群运算的置换群。 $\text{Aut}(G)$ 的大小和结构反应了 $G$ 本身的对称性有多丰富。

示例：求 Klein 四元群 $V_4=\{e,h,v,r\}$ 的自同构群。

⾃同构把单位元变成单位元。令 $x,y,z$ 代表 $h,v,r$ 中三个不同的元素，根据 $V_4$ 乘法的性质，易知关于 $h,v,r$ 的任意一个置换 $\begin{pmatrix}e&h&v&r\\ e&x&y&z\end{pmatrix}$ 都是自同构。因此 $\text{Aut}(V_4)\cong S_3$ 。

定理：⽆限循环群的⾃同构群是⼀个2阶循环群； $n$ 阶循环群的⾃同构群是⼀个 $\varphi(n)$ 阶群，其中 $\varphi(n)$ 为Euler函数。

证明：由于在同构映射下，循环群的⽣成元与⽣成元相对应，⽽⽣成元的相互对应完全决定了群中所有元素的对应。因此，⼀个循环群有多少个⽣成元就有多少个⾃同构。由于⽆限循环群有两个生成元， $n$ 阶循环群有 $\varphi(n)$ 个生成元，从而其自同构群分别为2阶群和 $\varphi(n)$ 阶群。

内自同构：下⾯进⼀步讨论群的⼀种特殊的⾃同构。设 $G$ 是群

对于任意固定的 $g\in G$ ，映射
$\sigma_g(x)=gxg^{-1}\quad(\forall x\in G)$
是 $G$ 的一个自同构，称为由 $g$ 诱导的内自同构（它本质也是后面要讲的共轭作用) ；
内自同构其实是通过映射 $\phi(g)=\sigma_g$ 构造了一个群 $G$ 到群 $\text{Aut}(G)$ 的群同态
$\phi:G\to\text{Aut}(G)$
全体内自同构够成一个群，称为内自同构群，记为 $\text{Inn}(G)$ ；
$\text{Inn}(G)\lhd \text{Aut}(G)$ ；

证明：(1) 取 $a,b\in G$ ，有

$\sigma_g(ab)=g(ab)g^{-1}=(gag^{-1})(gbg^{-1})=\sigma_g(a)\sigma_g(b)$

即 $\sigma_g$ 是同态。

又假设 $\sigma_g(a)=\sigma_g(b)$ ，则 $gag^{-1}=gbg^{-1}$ ，故 $a=b$ ，所以 $\sigma_g$ 是单射。且对于任意 $x\in G$ 总有 $\sigma_g(g^{-1}xg)=x$ ，所以 $\sigma_g$ 是满射。所以 $\sigma_g$ 是双射。

综上所述， $\sigma_g$ 是同构映射。

(2) 取 $a,b\in G$ ，对于任意 $x\in G$ ，有

$\phi(ab)(x)=abx(ab)^{-1}=a(bxb^{-1})a^{-1}=(\phi(a)\circ\phi(b))(x)$

即 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ ，所以 $\phi$ 是一个同态。

(3) 恒等映射 $\phi(e)=\text{Id}$ 即为单位元；复合映射自然满足结合律；从同态的证明知道 $\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)$ ，因此满足封闭性；又由同态的性质知道 $\phi(g)^{-1}=\phi(g^{-1})$ ，存在逆元；综上，全体内自同构构成一个群。

(4) 设自同构 $\sigma_g\in\text{Inn}(G),\tau\in\text{Aut}(G)$ ，任取 $x\in G$ 令 $\tau^{-1}(x)=y$ ，即 $\tau(y)=x$ 。则

$\tau\sigma_g\tau^{-1}(x)=\tau\sigma_g(y)=\tau(gyg^{-1})=\tau(g)\tau(y)\tau(g)^{-1}=\tau(g)x\tau(g)^{-1}=\sigma_{\tau(g)}(x)$

因为 $\sigma_{\tau(g)}\in\text{Inn}(G)$ ，根据正规子群的判定定理可知 $\text{Inn}(G)\lhd \text{Aut}(G)$ 。

容易验证，若群 $G$ 是 Abel 群，则 $\text{Inn}(G)=\{\text{Id}\}$ 。

下图是 $D_3$ 的内自同构群

事实上，正规子群是对群的所有内自同构都保持不变的子群。

特征子群：设 $G$ 是群， $H< G$ ，如果 $H$ 对群的所有自同构都保持不变。即 $\forall\sigma\in\text{Aut}(G)$ 都有

$\sigma(H)=H$

则称 $H$ 为特征子群。这意味着它是群的内在属性，不依赖于生成元的选取和具体表示。

传递性：

如果 $K$ 是 $H$ 的特征子群，且 $H$ 是 $G$ 的特征子群，则 $K$ 是 $G$ 的特征子群；
如果 $K$ 是 $H$ 的特征子群，且 $H\lhd G$ ，则 $K\lhd G$ ；

全特征子群：设 $G$ 是群， $H< G$ ，如果 $H$ 对群的所有自同态映射都保持不变。设同态 $\phi:G\to G$ 都有

$\phi(H)=H$

则称 $H$ 为全特征子群，

示例：循环群 $C_n=\langle a\rangle$ 的子群都是全特征子群。

证明：设任意子群 $H=\langle a^s\rangle$ ，自同态 $\phi$ 。令 $\phi(a)=a^t$ 则 $\phi(a^s)=a^{st}\in H$ ，所以 $H$ 是全特征子群。

外自同构：设 $G$ 是群

不是内自同构的自同构称为外自同构。严格来说，外自同构的集合不构成群（因为恒等映射是内自同构) 。
通常称商群
$\text{Out}(G)=\text{Aut}(G)/\text{Inn}(G)$
为外自同构群。它描述了那些无法通过群内部共轭实现的真正外部对称性；

示例1：

$\text{Aut}(V_4)\cong S_3$

示例2：循环群的自同构群

$\text{Aut}(C_n)\cong \mathbb{Z}_n$

示例3：

$\text{Aut}(S_2)=\{\text{Id}\},\quad \text{Out}(S_6)=\mathbb{Z}_2$

示例4：当 $n\neq2,6$ 时

$\text{Aut}(S_n)\cong \text{Inn}(S_n)\cong S_n,\quad \text{Out}(S_n)=\{\text{Id}\}$

群作用

群对集合的作用

前面的章节我们已经看到过群作用的例子，比如三角形或正方形对称群、立方体的旋转群，以及矩阵群作用于向量等。本节将给出群作用的一般概念，用它来学习更多有限群的知识。

在大多数的教科书上，群作用通常是以下定义。

群作用：设群 $G$ 和集合 $X$ ，定义映射 $*:G\times X\to X$ 。如果 $\forall x\in X,\ \forall a,b\in G$ 满足：

单位元： $e*x=x$ ；
结合律： $a*(b*x)=(ab)*x$ ；

那么就称为群 $G$ 在集合 $X$ 上的群作用(group action)。实质上 $g*x=\phi(g)(x)$ 。

在传统定义中，群作用其实是二元函数。对于任意固定的 $g\in G$ ，可以得到 $X$ 上的映射 $\phi_g(x)=g*x$ 。根据定义， $\phi_g$ 实际上是 $X$ 的一个置换。因此 $*$ 实际上是定义了一个群同态 $\phi:G\to \text{Sym}(X)$ 。

证明：(1) 为了证明 $\phi_g$ 是 $X$ 的置换，必须证明 $\phi_g$ 是 $X$ 自身上的双射。

设 $x_1,x_2\in X$ ，令 $g*x_1=g*x_2$ 则

$g^{-1}*(g*x_1)=g^{-1}*(g*x_2)$

因此 $x_1=x_2$ ，所以 $\phi_g$ 是单射。另外，对于 $\forall x\in X$ 都存在 $\phi_g(g^{-1}*x)=x$ ，所以 $\phi_g$ 是 $X$ 上的满射。综上 $\phi_g$ 是置换。

(2) 为了证明同态，必须证明 $\phi(ab)=\phi(a)\circ \phi(b)$ 。通过证明它们都把 $x\in X$ 映射到同一元素，来证明在 $\text{Sym}(X)$ 中这两个置换相等。

设 $a,b\in G$ ，则

$\phi(ab)(x)=(ab)*x=a*(b*x)=\phi(a)(\phi(b)(x))=(\phi(a)\circ\phi(b))(x)$

综上， $\phi$ 是同态。

群作用：设群 $G$ 和集合 $X$ ，称群同态

$\phi:G\to\text{Sym}(X)$

为群 $G$ 在集合 $X$ 上的群作用(group action)。

由定义可知，群中的单位元 $e$ 对应的是 $X$ 上的恒等置换 $\text{Id}_X$ ，而任意群元素 $a$ 对应的置换和其逆元 $a^{-1}$ 对应的置换互逆。

下图给出了 $V_4$ 对矩形中点集 $X=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的作用。其中0为中心点，1～4为四个顶点，5～8为四条边的中点。

群作用常见例子：

二面体群 $D_3$ 对正三角形 $ABC$ 的作用；
对称群 $S_n$ 实际就是对集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的作用；
一般线性群 $GL_n(\mathbb{R})$ 对向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的作用；
群 $G$ 对自身的作用： $g*x=gx$ 称为左作用； $g*x=xg^{-1}$ 称为右作用；

示例1：设 $G$ 为群， $H< G$ ，左陪集集合 $S=\{xH:x\in G\}$ ，则 $a*xh=axH$ 是群 $G$ 在集合 $S$ 上的作用。

证明：因为 $\forall x,a,b\in G$ 成立 $e*(xH)=exH=xH$ 和 $a*(b*xH)=abxH=(ab)*xH$ 。

轨道和稳定子

如果将集合 $X$ 中的元素看作空间中的散点，群 $G$ 的作用看作使每个点运动到另一个位置，那么轨道的概念也很容易理解：一个点能运动到的点的集合称为轨道，每一点都在轨道中运动。

轨道：设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，对于 $x\in X$ ，子集

$\text{Orb}_G(x)=\{g*x:g\in G\}$

称为 $x$ 在群 $G$ 作用下的轨道(orbit)，也常简记为 $\mathcal O(x)$ 或 $G*x$ 。若 $X$ 只有一个轨道，则称群作用是传递的(transitive)。

再看 $V_4$ 对矩形点集 $X$ 的作用。元素 $x\in X$ 的轨道如下表：

轨道分解定理：有限集合在群作用下，被划分为两两不相交的轨道。因此，轨道中可任选一个元素作为代表元。

$y\in\text{Orb}(x)\iff \text{Orb}(x)=\text{Orb}(y)$

证明：设 $\forall y\in\text{Orb}(x)$ ，即存在 $g\in G$ 满足 $y=g*x$ ，则 $x=g^{-1}*y\in \text{Orb}(y)$

和陪集的性质类似，在群作⽤下，可按轨道对集合 $X$ 的元素进⾏划分。记作

$X/G=\{\text{Orb}_G(x):g\in G\}$

但是和陪集不同，这些轨道并不一定是等长的。

稳定子：设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，不移动 $x\in X$ 的群元素的子集

$\text{Stab}_G(x)=\{g\in G:g*x=x\}$

称为 $x$ 的稳定子（stabilizer) 。也常简记为 $G_x$ 。如果 $x$ 的稳定子是全体 $G$ ，那么称 $x$ 是稳定元。

注意：轨道是由集合 $X$ 的元素组成的，⽽稳定⼦是由群 $G$ 的元素组成的。

考虑之前 $V_4$ 对顶点集合 $X$ 的作用，则顶点 5 的稳定子是 $\{e,h\}=\langle h\rangle$ ，这是 $V_4$ 的子群。因为 $V_4$ 可以划分成左陪集 $\langle h\rangle$ 和 $v\langle h\rangle$ ，容易发现，每个左陪集内元素对顶点 5 作用的结果都是一样的。

定理：设群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用，对于 $\forall x\in X$

稳定子 $\text{Stab}_G(x)$ 是群 $G$ 的一个子群；
稳定子 $\text{Stab}_G(x)$ 的全体左陪集与轨道 $\text{Orb}_G(x)$ 存在双射，即
$|\text{Orb}_G(x)|=[G:\text{Stab}_G(x)]$
轨道-稳定子定理：
$|G|=|\text{Orb}_G(x)|\cdot|\text{Stab}_G(x)|$

证明：(1) 显然单位元 $e\in \text{Stab}_G(x)$

封闭性：对于任意 $a,b\in\text{Stab}_G(x)$ 有

$(ab)*x=a*(b*x)=x$

因此 $ab\in \text{Stab}_G(x)$ ，满足封闭性。

逆元：对于任意 $g\in G$ 有

$g^{-1}*x=g^{-1}*(g*x)=(g^{-1}g)*x=x$

因此 $g^{-1}\in\text{Stab}_G(x)$ 。

(2) 为方便记 $G_x=\text{ Stab}_G(x)$ 。
易知 $\varphi:g*x\mapsto gG_x$ 是轨道 $\text{Orb}_G(x)$ 到 $\{gG_x:g\in G\}$ 的一个满射。
设元素 $a\in gG_x$ ，令 $a=gg_x$ 则

$a*x=(gg_x)*x=g*x$

即同一个陪集中元素的作用相同。

另外，不同陪集对 $x$ 的作用不同

$g_1G_x\neq g_2G_x\implies g_2^{-1}g_1\notin G_x\implies (g_2^{-1}g_1)*x\neq x\implies g_1*x\neq g_2*x$

所以左陪集和轨道存在单射。

综上，稳定子陪集和轨道存在双射。

(3) 由上述两个结论，利用Lagrange 定理可以得到「轨道-稳定子定理」。

轨道⼀稳定⼦定理告诉我们，每个轨道 $\text{Orb}_G(x)$ 的⼤⼩是 $|G|$ 的⼀个因⼦，所以，当 $|G|$ 是素数 $p$ 时，所有轨道的⼤⼩只能是 1 或 $p$ 。稳定元属于⼤⼩为 1 的轨道， $X$ 中其余的元素被划分成⼤⼩为 $p$ 的轨道。因此， $X$ 中的⾮稳定元个数是 $p$ 的倍数。

推论：设群 $G$ 作⽤在有限集合 $X$ 上，若阶 $|G|=p$ 为素数，那么

$|X^G|\equiv |X|\pmod p$

其中 $X^G=\{x\in X:\forall g\in G,\ g*x=x\}$ 是稳定元集合。

示例1：设子群 $H< G$ 对群 $G$ 的作用 $g*x=gx$ 。则 $x\in G$ 的轨道就是 $H$ 的一个右陪集 $\text{Orb}_H(x)=Hx$ 。从而根据轨道的基本性质，我们可以得到之前已经知道的Lagrange 定理。

示例2：设平面旋转群 $M=SO(2)$ 在向量空间 $V=\mathbb{R}^2$ 的作用。对于 $A\in M,v\in V$ 映射 $\phi_A(v)=Av$

$M=\left\{\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} :0\leqslant\theta<2\pi\right\}$

计数中的应用

先看一个例子，现在有一串共三个珠子的项链，每个珠子可以是红色或者蓝色，计算共有几种不同类型的珠子。

这个问题足够简单，可以通过枚举的方式加以解答。珠子共计三个，每个珠子可以染两种颜色，所以，项链所有可能的染色方案共计 2^3^=8 种。如下图所示：

上面图案的染色方案看起来是不同的，但是如果两种染色的结果可以通过旋转项链重合，则本质上是相同的。现将8个染色方案作成⼀个集合 $X$ ，用循环群 $C_3=\{e,r,r^2\}$ 分别表示 $0\degree,120\degree,240\degree$ 的旋转变换。于是群 $C_3$ 在集合 $X$ 上有群作⽤。按前⾯的讨论，两种染⾊方案是相同的当且仅当这两种染⾊方案在 $C_3$ 的元素的作⽤下互相转换，也即当且仅当这两种染⾊方案作为 $X$ 的元素属于 $C_3$ 作⽤下的同⼀轨道。故不同的方案的数⽬恰是 $X$ 在 $C_3$ 作⽤下的轨道的数⽬。

下⾯的定理给出群作⽤下的轨道数的⼀种计算⽅法。

Burnside 引理：设群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用，则所有不同的轨道的数目

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$

这里， $X^g=\{x\in X:g*x=x\}$ 是元素 $g\in G$ 对应的不动点(Fixed point)集合。下图是一个不动点集示例

证明：设有 $r$ 条轨道 $\mathcal O_1,\mathcal O_2,\cdots,\mathcal O_r$ 。令 $x,y\in X$ 是任一轨道 $\mathcal O_i$ 中的两个元素，则

$|G|=|\text{Stab(x)}|\cdot |\mathcal O_i|=|\text{Stab(y)}|\cdot |\mathcal O_i|$

故 $|\text{Stab(x)}|=|\text{Stab(y)}|$ ，因此

$\begin{aligned} r\cdot |\text{Stab(x)}|&=\sum_{x\in X}|\text{Stab(x)}|\\ &=\sum_{x\in X}|\{g\in G:g*x=x\}| \\ &=\sum_{g\in G}|\{x\in X:g*x=x\}| \\ &=\sum_{g\in G}|X^g| \end{aligned}$

现在⽤这个定理来计算本节开头例⼦中的轨道数。这需要计算 $C_3$ 的每个元素在 $X$ 上的不动点的数⽬。

由 Burnside 引理， $C_3$ 在 $X$ 上作⽤的轨道数也即项链的不同染色方案的数⽬是

$\frac{1}{3}(8+2+2)=4$

Pólya 计数原理：设群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用，颜色的数目 $m$ ，则不同的染色方案的数目

$r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{c(g)}$

这里， $c(g)$ 是元素 $g\in G$ 的置换表示拆分为若干个不相交轮换所得的轮换数目。

Pólya 计数原理是 Burnside 引理的应用和推广。相较于 Burnside 引理，Pólya 计数原理的改进就是提供了不动点集合大小 $X^g$ 在染色计数问题中的具体计算方法。

作为 Pólya 计数原理的简单应用，下面重新用 Pólya 计数原理计算项链染色问题。将三个珠子标号1～3，则例子中的群 $C_3$ 中的元素分别有置换表示如下：

$e=(1)(2)(3)$ ，共计3个轮换；
$r=(123)$ ，共计1个轮换；
$r^2=(132)$ ，共计1个轮换；

因此，不同染色方案的数目是

$\frac{1}{3}(2^3+2^1+2^1)=4$

共轭作用

之前的讨论侧重于群 $G$ 对集合 $X$ 的作用，且从以上诸例已看出群作⽤这⼀概念的⼴泛意义。下⾯则侧重于群对自身的作⽤。

定义：设群 $G$ 在自身的作用 $\phi:G\to\text{Sym}(G)$

对于 $\forall g,x\in G$ ，定义映射
$g*x=\phi(g)(x)=gxg^{-1}$
则称 $\phi$ 为共轭作用（conjugation) 。这其实就是之前讨论的内自同构。
元素 $x\in G$ 在共轭作用下的轨道称为共轭类（conjugacy class)
$\text{Orb}_G(x)=\{gxg^{-1}:g\in G\}$
共轭类也常记作 $\text{Cl}_G(x)$ 或 $\text{Conj}_G(x)$ 或指数形式 $x^G$ 。如果元素 $a$ 和 $b$ 处在同一共轭类中，则称 $a$ 和 $b$ 共轭（conjugate) ，经常使用等价符号表示 $a\sim b$ 。
元素 $x\in G$ 在共轭作用下的稳定子称为中心化子（centralizer)
$C_G(x)=\{g\in G:gxg^{-1}=x\}=\{g\in G:gx=xg\}$
共轭作用的核 $\ker(\phi)$ 称为群中心
$Z(G)=\{g\in G:\forall x\in G,\ gxg^{-1}=x\}$

基本属性：

共轭类要么相同，要么完全不相交；
单位元总是自成一个共轭类 $\text{Orb}(e)=\{e\}$ ；
一个共轭类中的所有元素都有相同的阶；
若 $a$ 和 $b$ 共轭，则 $a^k$ 和 $b^k$ 共轭；
Abel 群中任何元素都自成一个共轭类；
对所有 $a\in G$ ，总成立 $\langle a\rangle< C_G(a)$ ；

证明：(3) 任取元素 $a,b\in \text{Orb}_G(x)$ ，则存在 $g,h\in G$ 使得 $a=gxg^{-1},b=hxh^{-1}$ 。设 $|a|=k$ ，即

$a^k=(gxg^{-1})^k=gx^kg^{-1}=e$

得到 $x^k=e$ 。于是

$b^k=(hxh^{-1})^k=hx^kh^{-1}=e$

所以 $|a|=|b|$ 。

(4) 令 $a=gxg^{-1},b=hxh^{-1}$ ，则 $a^k=gx^kg^{-1}$ 且 $b^k=hx^kh^{-1}$ ，所以 $a^k$ 和 $b^k$ 共轭。

(5) 设 $G$ 是 Abel 群，取任一元素 $a\in G$ ，则

$\text{Orb}(a)=\{gag^{-1}:g\in G\}=\{agg^{-1}:g\in G\}=\{a\}$

(6) 对于 $\forall a^m\in\langle a\rangle$ ，都有 $aa^ma^{-1}=a^m$ ，所以 $a^m\in C_G(a)$ 。

下⾯我们来看⼀个来⾃正四⾯体 $ABCD$ 的对称群 $A_4$ 的例⼦。我们⽤ $\{a,b,c,d\}$ 来分别表示正四⾯体关于四个不同顶点的 $120\degree$ 顺时针旋转。

这四个旋转中的每⼀个都是其余三个的共轭。如下图 $b=cac^{-1}$

定理：正规子群 $N\lhd G$ 必然可以由若干共轭类完全划分。

证明：考虑元素 $a\in N$ ，由正规子群定义 $\forall g\in G,\ gNg^{-1}=N$ ，则必然有 $gag^{-1}\in N$ ，即整个共轭类 $\text{Orb}(a)\sub N$ 。因此，每个正规⼦群都由若⼲整个的共轭类组成的。

上述定理表明，共轭类公式可以⼤⼤缩⼩正规子群的搜索范围。例如，下表 $A_4$ 元素的共轭类划分：

群 $A_4$ 的任何⼀个正规⼦群⼀定是由这些类中的⼀个或⼏个组成的。所以，要找到 $A_4$ 的所有正规⼦群，我们可以尝试数字 1、3、4 和 4 的不同组合，从⽽找出共轭类组成的⼦群。在这个过程中，我们有两个限制条件。第⼀，由于我们要构造的是⼦群，所以必须将含有单位元的共轭类包含在内。第⼆，拉格朗⽇定理告诉我们，所得⼦群的阶必须整除整个群的阶。考虑到这两个原则，就只剩下三种可能性。

经过验证， $\{e,x,y,z\}$ 确实是 $A_4$ 的正规子群。⼀般来讲，合并共轭类并不总是得到正规⼦群。合并的意义在于为我们在寻找正规⼦群时提供⼀个更⼩的搜索范围。

类方程（class equation) 是群的共轭作用下结合轨道分解定理和轨道-稳定子定理的核心推论。设 $G$ 为有限群，则

$|G|=\sum_{\mathcal O_x\in X/G}|\mathcal O_x|$

类方程可以用于分析群的结构。

再来看下群 $A_4$ 的四个共轭类： $1+3+4+4=12=|A_4|$ 。

群的中心

群的中心：群 $G$ 中与所有元素都可交换的元素集合称为群中心

$Z(G)=\{z\in G:\forall g\in G,\ zg=gz\}$

同时，群中心是所有单元素中心化子的交集

$Z(G)=\bigcap_{g\in G}C_G(g)$

群的中心的大小，表明了它和交换群之间的差距。如果 $Z(G)=G$ ，则 $G$ 是 Abel 群；如果 $Z(G)$ 很大，说明群的结构更接近 Abel 群，相对容易研究。

基本性质：设 $Z(G)$ 是群 $G$ 的中心

群中心 $Z(G)$ 必然是 Abel 群；
$Z(G)\lhd G$ ；
群中心的元素在共轭作用下不变，即每个中心元素自成一共轭类；
$Z(G)$ 是群 $G$ 的特征子群；
$G/Z(G)\cong \text{Inn}(G)$ ；
若 $Z(G)=\{e\}$ ，则 $G\cong\text{Inn}(G)$

证明：(2) 由同态核的性质直接得到 $Z(G)\lhd G$ ；

(3) 对于 $\forall a\in Z(G)$ ，共轭类

$\text{Orb}_G(a)=\{gag^{-1}:g\in G\}=\{gg^{-1}a:g\in G\}=\{a\}$

(4) 任取 $c\in C,g\in G,\sigma\in\text{Aut}(G)$ ，则

$\sigma(c)g=\sigma(c)\sigma(\sigma^{-1}(g))=\sigma(c\cdot\sigma^{-1}(g))=\sigma(\sigma^{-1}(g)\cdot c)=g\sigma(c)$

因此 $\sigma(c)\in Z(G)$ 。于是便得到 $\sigma(C)=C$ ，所以 $C$ 是特征子群。

(5) 易知函数 $\phi(g)=\sigma_g$ 构造的映射 $\phi:G\to\text{Inn}(G)$ 是满射。对于 $\forall x\in G$ ，有

$\phi(ab)(x)=\sigma_{ab}(x)=abxb^{-1}a^{-1}=\sigma_a(\sigma_b(x))=(\sigma_a\circ\sigma_b)(x)=\phi(a)(x)\cdot\phi(b)(x)$

即 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ ，故 $\phi$ 是同态。

同时，中心的元素 $c\in Z(G)$ 对应的自同构 $\sigma_c(x)=cxc^{-1}=x$ 为恒等映射，所以 $Z(G)=\ker(\phi)$ 。

综上，由同态基本定理可知 $G/Z(G)\cong \text{Inn}(G)$

进一步，将群中心带入类方程。还可得到：

$|G|=|Z(G)|+\sum_{|\mathcal O_x|>1}|\mathcal O_x|$

示例1：一般线性群的中心由所有非零纯量矩阵组成

$Z(GL_n(\mathbb{R}))=\{\lambda I_n:\lambda\in\mathbb{R}^*\}$

示例2：3次及以上对称群 $S_n$ 的中心是 $\{e\}$

示例3：四元数群 $Q_8=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ 的中心 $Z(Q_8)=\{1,-1\}$

示例4：二面体群 $D_4=\{e,r,r^2,r^3,f,fr,fr^2,fr^3\}$ 的中心 $Z(D_4)=\{e,r^2\}$

子群的共轭

事实上，群的子群也可以是群作用的对象。在这一共轭作用下，同样可以定义相应的轨道和稳定子。

共轭作用：设群 $G$ 和它的全体子群 $X=\{H:H< G\}$ 。共轭作用 $\phi:G\to\text{Sym}(X)$ 定义为

$g*H=\phi(g)(H)=gHg^{-1}=\{ghg^{-1}:h\in H\}$

下图是 $D_3\cong S_3$ 在其子群上的共轭作用

定义：设群 $G$ 和它的全体子群 $X=\{H:H< G\}$

子群 $H< G$ 在共轭作用下的共轭类

$\text{Orb}_G(H)=\{gHg^{-1}:g\in G\}$
子群 $H< G$ 在共轭作用下的稳定子称为正规化子（normalizer)

$N_G(H)=\{g\in G:gHg^{-1}=H\}=\{g\in G:gH=Hg\}$

正规化子是满足左右陪集相等的元素集合。
子群 $H< G$ 在共轭作用下的中心化子（centralizer)

$C_G(H)=\{g\in G:\forall h\in H,\ gh=hg\}$

注意：中心化子要求群元素 $g$ 与 $H$ 中每个元素都可交换，而正规化子只要求在群作用下保持 $H$ 作为集合整体不变。

基本性质：设子群 $H< G$ ，元素 $a,b\in G$

$aHa^{-1}< G$
$aHa^{-1}\cong bHb^{-1}$
$H\lhd N_G(H)< G$
$C_G(H)\lhd N_G(H)$

证明：(1) 单位元： $e=aea^{-1}\in aHa^{-1}$

封闭性： $\forall g,h\in H$ ，都有 $(aga^{-1})(aha^{-1})=agha^{-1}\in aHa^{-1}$

逆元： $\forall h\in H$ ，都有 $(aha^{-1})^{-1}=ah^{-1}a^{-1}\in aHa^{-1}$

综上， $aHa^{-1}$ 是子群。

(2) 定义映射 $f:aha^{-1}\mapsto bhb^{-1}$ ，容易验证，满足同态性质和满射。这个性质表明，==同一个共轭类内的子群都彼此同构==。

(3) 单位元：因为 $eH=He$ ，所以 $e\in N_G(H)$ ；

封闭性：任取 $a,b\in N_G(H)$ ，有 $(ab)H=aHb=H(ab)$ ，所以 $ab\in N_G(H)$ ；

逆元：任取 $a\in N_G(H)$ ，有 $aH=Ha$ ，等式两边分别都左乘和右乘 $a^{-1}$ ，得到 $Ha^{-1}=a^{-1}H$ 。所以 $a^{-1}\in N_G(H)$ ；

综上， $N_G(H)< G$ 。又因为任意 $h\in H$ ，都有 $hH=Hh=H$ , 则 $H\subseteq N_G(H)$ 。最后结合正规化子的定义，可得 $H\lhd N_G(H)$ 。

(4) 单位元：因为对于 $\forall h\in H$ ，都有 $eh=he$ 。所以 $e\in C_G(H)$ ；

封闭性：任取 $a,b\in C_G(H),\ h\in H$ ，有 $(ab)h=ahb=h(ab)$ ，所以 $ab\in C_G(H)$ ；

逆元：任取 $a\in C_G(H), h\in H$ ，有 $ah=ha$ ，所以 $ha^{-1}=a^{-1}h$ 。所以 $a^{-1}\in C_G(H)$ ；

子集：任意 $a\in C_G(H)$ ，都有 $aH=Ha$ , 则 $a\in N_G(H)$ 。所以 $C_G(H)\subseteq N_G(H)$ ；

因此， $C_G(H)< N_G(H)$ 。

根据正规子群的共轭判定条件，任取 $n\in N_G(H), c\in C_G(H)$ ，还需证明 $nan^{-1}\in C_G(H)$ ，即对于任意 $h\in H$ 都满足 $(ncn^{-1})h=h(ncn^{-1})$

因为 $n^{-1}\in N_G(H)$ ，则 $n^{-1}Hn=H$ ，所以对于任意 $h\in H$ 都有 $n^{-1}hn\in H$ 。令 $h'=n^{-1}hn$ 则

$(ncn^{-1})h=nc(n^{-1}hn)n^{-1}=nch'n^{-1}=nh'cn^{-1}=h(ncn^{-1})$

综上所述， $C_G(H)\lhd N_G(H)$

下图是正规化子和群的层级图

示例：二面体群 $D_6$ 和子群 $\langle f\rangle$ ，正规化子 $N_{D_6}(\langle f\rangle)\cong V_4$ 。如下图

群的结构

有限群是代数学的⼀个重要分⽀，它在群的理论中占有⾮常重要的地位。有限群之所以重要，不仅因为这种理论对数学本⾝特别是群论产⽣重要影响，⽽且在实际应⽤中，例如在理论物理、量⼦⼒学、量⼦化学以及结晶学等⽅⾯都有⼴泛应⽤。

Sylow 定理

根据Lagrange定理，如果 $H$ 是有限群 $G$ 的⼀个⼦群，则 $|H|$ 是 $|G|$ 的⼀个因数。但是，这个定理的逆定理不成⽴，即若 $m$ 是 $|G|$ 的⼀个因数，则 $G$ 并不⼀定有 $m$ 阶⼦群。例如，四元交错群 $|A_4|=12$ ，尽管易知它有 2，3，4 阶⼦群，但它却没有6阶子群。

虽然不是对 $|G|$ 的每个因数 $m$ ，群 $G$ 都有 $m$ 阶⼦群，但是某些特殊因数，却有对应阶数的⼦群。本节要证明的Sylow定理包含着与其相关联的⼀系列⾮常深刻的结论。

下面我们来证明 Cauchy 定理, 我们将利用 Cauchy 定理及其后面的引理证明 Sylow 定理。

Cauchy 定理：如果素数 $p$ 能够整除群 $G$ 的阶，则必然存在 $p$ 阶元素，从而有 $p$ 阶子群。

证明：因为 $p$ 是素数，如果能找到某个元素 $g\neq e$ 满足 $g^p=e$ ，那么 $g$ 必定是 $p$ 阶元素。建立一个群作用，使得它的稳定元就是 $p$ 阶元素，然后利用轨道公式导出存在性。

(1) 构造集合：令

$X=\{(g_1,g_2,\cdots,g_p):g_1g_2\cdots g_p=e\}$

这是 $p$ 个有序组构成的集合。前 $p-1$ 个元素可以从 $G$ 中任意选择，但最后一个元素必须是它们乘积的逆。所以

$|X|=|G|^{p-1}$

(2) 定义群作用：设 $p$ 阶循环群 $C_p=\langle a\rangle$ 在 $X$ 上的作用。令

$a*(g_1,g_2,\cdots,g_p)=(g_p,g_1,\cdots,g_{p-1})$

我们需要验证作用后是否还在 $X$ 中，因为 $g_1g_2\cdots g_p=e$ ，则 $g_1\cdots g_{p-1}=g_p^{-1}$ 。所以

$g_pg_1 \cdots g_{p-1}=g_pg_p^{-1}=e$

故定义的群作用是合理的。

(3) 轨道分析：对于任意 $x\in X$ ，若 $a*x=x$ ，这需要使得序列中的每一个元素都与下一个相等，即序列中的所有元素都相等，所以稳定元和 $P=\{g:g^p=e\}$ 中的元素一一映射，我们只需要证明 $|P|>1$ 即可。又因为 $C_p$ 是素数阶群，根据轨道-稳定子定理的推论， $|P|\equiv |X|\pmod p$ ，同时 $|X|=|G|^{p-1}$ 且 $p$ 整除 $|G|$ ，因此 $p$ 也整除 $|X|$ 和 $|P|$ 。所以 $|P|\in \{0,p,2p,\cdots\}$ 。又因为 $e\in P$ ，这意味着 $P$ 至少有2个元素（最小素数) 。因此，至少还有一个元素 $g\neq e$ 满足 $g^p=e$ ，这便是我们要找的 $p$ 阶元素。

Cauchy 定理告诉我们，任意6阶群里必存在一个2阶元和一个3阶元，设这两个元素分别是 $a$ 和 $b$ 。因此，在凯莱图中我们可以先画出子群 $\langle a\rangle$ 和子群 $\langle b\rangle$ ，同时再增加左陪集 $a\langle b\rangle$ 。此时，我们已经有了一个近乎完整的凯莱图，如下图(左)所示。剩下的箭头只有两种选择，于是，我们便知道6阶群只有两种： $C_6$ 和 $S_3$ 。

Cauchy 定理保证了素数阶⼦群的存在性，是拉格朗⽇定理的部分逆命题。正如我们所看到的，柯西定理对低阶群⾮常有⽤，因为在低阶群中素数阶⼦群占了很⼤⼀部分。但是在⾼阶群中（例如 200 阶群) ，则需要更一般性的Sylow定理。

定义：设 $G$ 为有限群

若群的阶 $|G|=p^s$ ，其中 $p$ 是素数， $s$ 是正整数。则称 $G$ 为 $p$ -group；
若 $p$ ‑group 是群 $G$ 的子群，则称它为 $G$ 的 $p$ -subgroup；

例如， $D_4=\langle r,f\rangle$ 是 2-group，因为 $|D_4|=2^3$ 。它包含⼀个⼦群 $\langle r\rangle$ ，该⼦群的阶是 $|\langle r\rangle|=2^2$ ，因此它是 $D_4$ 的⼀个2-subgroup。同理， $C_{13}$ 是13-group，他的阶是素数13的⽅幂 $13^1$ 。

接下来我们将对 $p$ -group 应⽤我们已知的群作⽤的结论，得到下⾯的两个引理，从⽽完成对西罗定理的准备⼯作。

引理 1：设 $p$ -group $G$ 作⽤在有限集合 $X$ 上，那么

$|X^G|\equiv |X|\pmod p$

其中 $X^G=\{x\in X:\forall g\in G,\ g*x=x\}$ 是所有的稳定元集。特别的，若考虑 $p$ -group 在自身的共轭作用，立即得到 $p$ -group 的中心非平凡。

证明：令 $|G|=p^s$ ，轨道⼀稳定⼦定理告诉我们，每个轨道的⼤⼩是 $|G|$ 的⼀个因⼦。此时，只有 $p$ 的方幂能整除 $|G|$ ，因此轨道的大小只能是各个方幂 $1,p,p^2,\cdots,p^s$ 。稳定元属于⼤⼩为 1 的轨道， $X$ 中其余的元素被划分成⼤⼩为 $p^k$ 的轨道。因此， $X$ 中的⾮稳定元个数是 $p$ 的倍数。得证。

引理 2：如果 $H$ 是 $G$ 的一个 $p$ -subgroup，那么 $[N_G(H):H]\equiv[G:H]\pmod{p}$ 。

证明：该引理采用和Cauchy 定理相似的证明策略。先建立一个群作用，然后利用轨道公式证明。

考虑左陪集空间 $S=\{gH:g\in G\}$ ，其大小为 $[G:H]$ 。定义群 $H$ 在 $S$ 上的左乘作用

$\phi(h)(gH)=(hg)H$

对于任意陪集 $gH\in S$ ，由轨道-稳定子定理，轨道大小 $|\text{Orb}(gH)|$ 是 $|H|$ 的因子。令 $|H|=p^n$ ，故轨道大小只能是各个方幂 $1,p,p^2,\cdots,p^n$ 。稳定元属于⼤⼩为 1 的轨道， $S$ 中其余的陪集被划分成⼤⼩为 $p^k$ 的轨道。

取任一元素 $g\in N_G(H)$ ，则 $gH=Hg$ ，所以

$\text{Orb}(gH)=\{hgH:h\in H\}=\{hHg:h\in H\}=\{gH\}$

因此， $N_G(H)$ 中元素代表的陪集都是稳定元。

反过来，若任一陪集 $gH\in S$ 是稳定元，则 $\forall h\in H,\ hgH=gH$ ，等价于 $g^{-1}Hg\subseteq H$ ，可推得 $g^{-1}Hg=H$ 。因此，稳定元恰是 $N_G(H)$ 中元素代表的陪集：

$S^H=\{gH:g\in N_G(H)\}$

因为 $H< N_G(H)$ ，显然有

$|S^H|=[N_G(H):H]$

因为阶 $H$ 是一个 $p$ -group，根据引理1，有 $|S^H|\equiv |S|\pmod p$ 。综上，得证。

有了以上引理，下⾯就可以来证明三个Sylow定理了。

第一 Sylow 定理：(存在性) 设 $G$ 是有限群，令 $|G|=p^sm$ 。其中 $p$ 是素数， $n$ 是正整数，且 $p\nmid m$ 。那么，对于每个 $i\ (0\leqslant k \leqslant s)$ ，必存在 $p^i$ 阶子群。并且， $G$ 中的每个 $p^i$ 阶子群是某个 $p^{i+1}$ 阶子群的正规子群。

证明：通过归纳法，利用Cauchy 定理不断把 $p^i$ 阶子群扩张到 $p^{i+1}$ 阶子群，同时证明定理中的两个论断。

第一步：当 $i=0$ 时， $p^0$ 阶子群显然是 $\{e\}$ ；因为素数 $p$ 整除 $|G|$ ，由Cauchy 定理我们还知道存在 $p$ 阶子群；

第二步：设 $p^i$ 阶子群 $H$ ，依赖 $H\lhd N_G(H)$ 构造商群 $N_G(H)/H$ ，其大小为 $[N_G(H):H]$ 。引理2指出 $[N_G(H):H]\equiv[G:H]\pmod{p}$ 。由Lagrange定理，我们还知道

$[G:H]=|G|/|H|=p^{s-i}m$

因为 $s>i$ ，所以 $p\mid p^{s-i}m$ 。因此， $[G:H]$ 和 $[N_G(H):H]$ 都是 $p$ 的倍数。这使得我们可以在商群 $N_G(H)/H$ 中使用Cauchy 定理，于是必然存在 $p$ 阶元素，记为 $aH$ ，即 $a^p=e$ 。

其实，循环子群 $\langle aH \rangle$ 所包含的所有元素

$H'=\bigcup_{k=1}^{p} a^kH$

也是 $N_G(H)$ 的一个子群。而 $H'$ 的阶恰是

$|H'|=p^i\cdot p=p^{i+1}$

第三步：我们来证明 $H'$ 是群。任意取 $a^mh_1\in a^mH$ 和 $a^nh_2\in a^nH$ ，则

$h_1a^n\in Ha^n=a^nH$

存在 $h_1'\in H$ 满足 $h_1a^n=a^nh_1'$ 。故

$(a^mh_1)(a^nh_2)=a^{m+n}(h_1'h_2)\in a^{m+n}H\subseteq H'$

满足封闭性。

同时逆元封闭，任意

$(a^mh)^{-1}=h^{-1}a^{-m}\in a^{-m}H\subseteq H'$

结合律和单位元自然满足。

第四步：显然 $H< H'$ ，且利用 $N_G(H)$ 的定义， $\forall h'\in H'$ 都有 $h'H=Hh'$ ，所以 $H\lhd H'$ 。

综上，我们反复使用扩张技术，便可找到所有的 $p$ -subgroup 。

第二 Sylow 定理：(共轭性) 设 $G$ 是有限群，令 $|G|=p^sm$ 。其中 $p$ 是素数， $n$ 是正整数，且 $p\nmid m$ 。称 $p^s$ 阶的 $p$ -subgroup 为 Sylow $p$ -subgroup。群 $G$ 的任意两个Sylow $p$ -subgroup 彼此共轭。

证明：我们将再次使用证明Cauchy 定理的策略。

设 $S$ 是某个Sylow $p$ -subgroup $H$ 的左陪集全体，另一个Sylow $p$ -subgroup $K$ 通过左乘作用在 $S$ 上

$\phi(k)(gH)=kgH$

若任一陪集 $gH\in S$ 是稳定元，则 $\forall k\in K,\ kgH=gH$ ，等价于 $g^{-1}Kg\subseteq H$ ，又因为它们的大小相同，所以 $g^{-1}Kg=H$ 。因此，只要存在一个陪集是稳定元，那么 $H$ 和 $K$ 就是共轭的，从而定理得证。

因为 $K$ 是 $p$ -group，引理1告诉我们 $|S^K|\equiv |S|\pmod p$ 。而 $|S|=[G:H]=m$ 且 $p\nmid m$ ，故稳定元的个数大于零，于是 $H$ 和 $K$ 共轭。

之前的章节告诉我们同一个共轭类内的子群彼此同构，第二 Sylow 定理告诉我们，群的所有 Sylow $p$ -subgroup 都彼此共轭，所以他们都彼此同构。结合第一 Sylow 定理给出的 $p$ -subgroup 的嵌套关系，所以每个 Sylow $p$ -subgroup 的共轭都可能得到另一个内部结构完全相同的 Sylow $p$ -subgroup，如下图所示：

第三 Sylow 定理：(计数定理) 设 $G$ 是有限群，令 $|G|=p^sm$ 。其中 $p$ 是素数， $n$ 是正整数，且 $p\nmid m$ 。设 $n_p$ 表示群 $G$ 中 Sylow $p$ -subgroup 的个数，则 $n_p\mid m$ ，且 $n_p\equiv 1\pmod p$

证明：(1) 对 $n_p$ 的第一个限制条件相对容易证明。

令 $H$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$ -subgroup，由第二 Sylow 定理知道， $n_p$ 是 $H$ 的共轭类的大小，即

$n_p=[G:N_G(H)]$

因为 $H< N_G(H)< G$ ，由Lagrange定理得

$|G|=[G:N_G(H)]\cdot|N_G(H)|=[G:N_G(H)]\cdot[N_G(H):H]\cdot|H|$

带入可得

$m=n_p\cdot [N_G(H):H]$

因此 $n_p\mid m$ 。

(2) 对 $n_p$ 第二个限制条件，我们将再次使用证明Cauchy 定理的策略。

令 $S$ 是所有Sylow $p$ -subgroup 的集合，考虑 $H$ 在 $S$ 上的共轭作用。因为 $\forall h\in H,\ hHh^{-1}=H$ ，所以 $H\in S$ 是一个稳定元。如果存在另一个Sylow $p$ -subgroup $K\in S$ 也是一个稳定元，则需要满足 $\forall h\in H,\ hKh^{-1}=K$ ，等价于 $H\subseteq N_G(K)$ 。

因此 $H$ 和 $K$ 都是群 $N_G(K)$ 的 Sylow $p$ -subgroup，由第二 Sylow 定理知道，它们在 $N_G(K)$ 上是共轭的。又由于 $K\lhd N_G(K)$ ，所以 $K=H$ ，所以稳定元只有 $H$ 一个。根据引理1 $|S^K|\equiv |S|\pmod p$ 便得到第二个限制条件。

示例1：证明15阶群 $G$ 只有循环群。

证明：设 $G$ 是15阶群，则 $|G|=3\times5$ 。令 $n_3$ 和 $n_5$ 分别表示 Sylow 3-subgroup 和 Sylow 5-subgroup 的个数。由第三 Sylow 定理， $n_3\mid 5$ 且 $n_3\equiv 1\pmod 3$ ，因此 $n_3=1$ 。同理可证 $n_5=1$ 。唯一性保证它们都是正规子群。由于3和5都是素数，设唯一的 Sylow 3-subgroup 为循环子群 $\langle a\rangle$ （其中 $a^3=e$ ) ，唯一的 Sylow 5-subgroup 为 $\langle b\rangle$ （其中 $b^5=e$ ) 。由Lagrange定理知， $\langle a\rangle$ 只包含1或3阶元， $\langle b\rangle$ 只包含1或5阶元，故交集 $\langle a\rangle\cap \langle b\rangle=\{e\}$ 。又因为 $\langle a\rangle\lhd G$ ，则 $ba^{-1}b^{-1}\in\langle a\rangle$ ，故 $aba^{-1}b^{-1}\in\langle a\rangle$ 。同理可得 $aba^{-1}b^{-1}\in\langle b\rangle$ 。所以 $aba^{-1}b^{-1}=e$ ，即 $ab=ba$ 。于是 $|ab|=\text{lcm}(3,5)=15=|G|$ ，因此 $G$ 是循环群且 $G=\langle a,b\rangle$ 。

示例2：证明6阶群在同构意义下只有 $C_6$ 和 $D_3$ 。

证明：设 $G$ 是6阶群，则 $|G|=2\times3$ 。令 $n_2$ 和 $n_3$ 分别表示 Sylow 2-subgroup 和 Sylow 3-subgroup 的个数。由第三 Sylow 定理，满足 $n_2\equiv 1\pmod 2$ 和 $n_2\mid 3$ ，所以 $n_2=1$ 或 $n_2=3$ 。同理，可以证明群 $G$ 有且只有一个 Sylow 3‑subgroup $P_3=\langle a\rangle$ （其中 $a^3=e$ ) ，且是正规子群。以下分两种情况：

当 $n_2=1$ 时：则唯一的 Sylow 2-subgroup $P_2=\langle b\rangle$ （其中 $b^2=e$ ) 也是正规子群。考虑正规性 $aba^{-1}\in P_2$ ，故 $aba^{-1}b^{-1}\in P_2$ 。同理可得 $aba^{-1}\in P_3$ 。由于 $P_3\cap P_2=\{e\}$ ，因此 $aba^{-1}b^{-1}=e$ ，即 $ab=ba$ 。于是 $|ab|=\text{lcm}(2,3)=6$ ，从而 $G\cong C_6$ 。

当 $n_2=3$ ：即存在三个共轭的 Sylow 2‑subgroup，每个由2阶元生成。取其中一个 Sylow 2-subgroup $P_2=\langle b\rangle$ （其中 $b^2=e$ ) ，由于 $P_3\lhd G$ ，有 $bab^{-1}\in P_3$ ，故 $bab^{-1}=a$ 或 $bab^{-1}=a^2$ 。若 $bab^{-1}=a$ ，则 $a$ 与 $b$ 交换，类似情况1可得 $G$ 是循环群，此时Sylow 2‑subgroup，与 $n_2=3$ 矛盾。因此必有 $bab^{-1}=a^2=a^{-1}$ 。因此 $G=\langle a,b:a^3=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}\rangle$ ，这正是二面体群 $D_3$ 。

低阶群的分类

Order	Group structures
1	trivial group $\{e\}$
2	cyclic group $C_2$
3	cyclic group $C_3$
4	cyclic group $C_4$ Klein 4-group $V_4$
5	cyclic group $C_5$
6	cyclic group $C_6$ dihedral group $D_3$
7	cyclic group $C_7$
8	cyclic group $C_8$ direct product group $C_2\times C_4$ direct product group $C_2\times C_2\times C_2$ dihedral group $D_4$ quaternion group $Q_8$
9	cyclic group $C_9$ direct product group $C_3\times C_3$
10	cyclic group $C_{10}$ dihedral group $D_5$

直积分解

前文对群的分析主要集中在如何将群分解为更小的群；相反地，自然可以讨论如何将两个群组合成更大的群。在所有可能的组合方式中，群的直积是最为简单的一种。

群的直积的基本想法是，给定两个群 $G$ 和 $H$ ，考虑其笛卡尔积 $G\times H$ 。其中，二元对 $(g,h)$ 的运算定义为对两分量分别运算，互不影响。这样得到的结果显然是更大的群，且原来的两个群可以平凡地嵌入新的群中。

直积：设 $(G,\cdot)$ 和 $(H,*)$ 是两个群，有各⾃的运算和单位元 $e_G,e_H$ 。则它们的笛卡尔积

$G\times H=\{(g,h):g\in G,\ h\in H\}$

在运算

$(g_1,h_1)\otimes(g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,\ h_1* h_2)$

下构成群，称为 $G$ 和 $H$ 的直积(direct product)，记作 $G\times H$ ，它的单位元是 $(e_G,e_H)$ 。如果两个直积因子都是 Abel 群，那么直积也必然是 Abel 群。Abel 群的直积通常称为直和，二元运算用 $\oplus$ 表示。

直积的乘法表非常简单，分别按每个分量的群运算计算即可

直积的凯莱图构造也很简单，如下图演示

利用直积，使得大群的结构更容易理解：

定理：设 $(G,\cdot)$ 和 $(H,*)$ 是两个群，元素 $(g,h)\in G\times H$ 。则 $|(g,h)|=\text{lcm}(|g|,|h|)$

对于直积 $G=H\times K$ ，必存在两个子群： $H'=H\times\{e_K\}=\{(h,e_K):h\in H\}$ 和 $K'=\{e_H\}\times K=\{(e_H,k):k\in K\}$ 。同时可以建立平凡同构映射 $\phi_H:h\mapsto(h,e_K)$ 和 $\phi_K:k\mapsto(e_H,k)$ ，即群 $G$ 可以写成两个子群的直积 $G\cong H'\times K'$ 。

同时，对于任意 $(h,k)\in H\times K$ 满足 $(h,k)\otimes H'=H'\otimes (h,k)=\{(h,k):h\in H\}$ ，所以 $H'\lhd G$ 。同理可证 $K'\lhd G$ 。同时，这两个子群还满足 $H'\cap K'=\{(e_H,e_K)\}$ 和 $G=H'K'$ 。

然而，并不是所有的群都可以写成两个非平凡子群的直积。例如，群 $D_3=\langle f,s\rangle$ 就不同构于 $\langle r\rangle\times\langle f\rangle$ ，因为作为两个循环群的直积，后者必然是 Abel 群。

直积分解定理：设有限群 $G$ 和它的两个子群 $H,K$ 。则 $G\cong H\times K$ 当且仅当

$H\lhd G,\ K\lhd G$ ；
$H\cap K=\{e\}$ ；
$G=HK$ ；

只证明充分性：定义映射 $\phi:H\times K\to G$ 为

$\phi((h,k))=hk$

由 $G=HK$ 可知 $\forall g\in G$ 都存在 $h\in H,k\in K$ 满足 $g=hk$ ，故 $\phi$ 是满射。

若 $\phi((h_1,k_1))=\phi((h_2,k_2))$ ，即 $h_1k_1=h_2k_2$ ，变换为 $h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}$ 。考虑子群对逆和乘法的封闭性

$h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}=H\cap K=\{e\}$

因此 $h_1=h_2,\ k_1=k_2$ ，故 $\phi$ 是单射。

同态性需验证 $\phi((h_1,k_1)\otimes(h_2,k_2))=\phi((h_1,k_1))\phi((h_2,k_2))$

由于

$\phi((h_1,k_1)\otimes(h_2,k_2))=\phi((h_1h_2,k_1k_2))=h_1h_2k_1k_2$

另外

$\phi((h_1,k_1))\phi((h_2,k_2))=h_1k_1h_2k_2$

即需验证 $h_1h_2k_1k_2=h_1k_1h_2k_2$

因为 $H\lhd G,\ K\lhd G$ 。则对任意 $h\in H,\ k\in K$ 满足 $khk^{-1}\in H,\ hk^{-1}h^{-1}\in K$ 。故

$khk^{-1}h^{-1}\in H\cap K=\{e\}$

所以 $khk^{-1}h^{-1}=e$ ，即 $kh=hk$ 。于是可得

$h_1h_2k_1k_2=h_1k_1h_2k_2$

综上， $\phi$ 是同构，即 $G\cong H\times K$ 。

例如，Kelin 四元群 $V_4=\langle h,v\rangle$ 可直积分解 $V_4\cong \langle h\rangle\times\langle v\rangle\cong C_2\times C_2$ 。

定理：循环群 $C_{mn}\cong C_m\times C_n$ 当且仅当 $m$ 与 $n$ 互素。

证明：充分性：令 $G=C_m\times C_n$ 是循环群，阶为 $mn$ ，则 $\text{lcm}(m,n)=mn$ 。

由于 $G$ 是循环群，存在阶为 $mn$ 的生成元 $g=(a,b)$ 。注意到 $|g|=\text{lcm}(|a|,|b|)$ ，其中 $|a|$ 整除 $m$ 且 $|b|$ 整除 $n$ ，因此 $\text{lcm}(|a|,|b|)\le \text{lcm}(m,n)\le mn$ 。但 $\text{lcm}(|a|,|b|)=mn$ ，所以 $\text{lcm}(m,n)=mn$ 。

必要性：若 $\text{lcm}(m,n)=mn$ ，则 $C_{mn}\cong C_m\times C_n$ 。

设 $C_m=\langle a\rangle,\ C_n=\langle b\rangle$ ，取直积群元素 $g=(a,b)$ 。设 $|g|=k$ ，则 $g^k=(a^k,b^k)=(e,e)$ ，从而 $m\mid k$ 且 $n\mid k$ 。由于 $\text{lcm}(m,n)=mn$ ，所以 $mn\mid k$ 。又因为 $k\le mn$ ，故 $k=mn$ ，即 $(a,b)$ 的阶等于直积群 $C_m\times C_n$ 的阶，从而是循环群。

上述推论表明 $C_6\cong C_2\times C_3$ ，但是 $C_8$ 和 $C_2\times C_4$ 不同构。

Abel 群基本定理

下图给出了6个有代表性的Abel 群的凯莱图：包括1个生成元的Abel 群（即循环群) 、2个生成元的Abel 群和3个生成元的Abel 群。通过观察可以发现Abel 群的凯莱图都呈网格状，相同的生成元都彼此平行，不同的生成元都彼此垂直。重要的是，这些模式不仅表明了群是可交换的，⽽且揭示了它的直积结构。阿⻉尔群基本定理准确地阐述了阿⻉尔群与直积之间的这⼀重要联系。

如果群 $G$ 有一个有限的生成子集，则称群 $G$ 是 有限生成的（finitely generated) 。

Abel 群基本定理：任何有限生成 Abel 群 $A$ 同构于有限多个循环群的直和：

$A\cong \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{d_1}\oplus\mathbb{Z}_{d_2}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{d_s}$

其中：

整数 $r\ge0$ 是唯一的，称为群 $A$ 的贝蒂(Betti)数；
而且可以选取整数序列 $d_1,\cdots,d_s>1$ 使其满足 $d_1\mid d_2\mid\ \cdots\mid d_s$ 。此时，整数序列唯一确定，因子 $\mathbb{Z}_{d_i}$ 称为群 $A$ 的不变因子(invariant factor)或挠数(torsion coefficient)；
也可以选取整数 $d_1,d_2,\cdots,d_s$ 使其都是素数幂的形式，此时，这些素数幂也都唯一确定，因子 $\mathbb{Z}_{d_i}$ 称为群 $A$ 的初等因子(elementary divisor)；

有限生成 Abel 群基本定理是代数学中最完美的结构定理之一。它将看似复杂的群分解为简单循环群的直积，并提供了明确的分类和不变量。这个定理不仅在群论中重要，在拓扑学、数论、代数几何等数学分支中都有广泛应用，是连接不同数学领域的桥梁。

作为示例，可以通过定理得知所有的 24 阶 Abel 群共三种，列举如下。

Invariant Factors	Elementary Divisors
$\mathbb{Z}_{24}$	$\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_8$
$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_{12}$	$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_4$
$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_6$	$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3$

推论：设有限Abel群 $A$

若 $m$ 整除 $|A|$ ，则 $A$ 有个 $m$ 阶子群；
若 $\sqrt{|A|}\notin\mathbb{Z}^+$ ，则 $A$ 是循环群；

半直积

半直积：设 $(G,\cdot)$ 和 $(H,*)$ 是两个群，有各⾃的运算和单位元 $e_G,e_H$ 。给定群同态

$\phi:H\to\text{Aut}(G)$

即对任意 $h\in H$ ， $\phi(h)$ 都是 $G$ 的自同构。把它们的笛卡尔积记为

$G\rtimes_{\phi} H=\{(g,h):g\in G,\ h\in H\}$

在运算

$(g_1,h_1)\otimes(g_2,h_2)=(g_1\cdot \phi(h_1)(g_2),\ h_1* h_2)$

下构成群，称为 $G$ 和 $H$ 的半直积(semidirect product)，它的单位元是 $(e_G,e_H)$ 。

下图是半直积 $V_4\rtimes \text{Aut}(V_4)$ 。图中每个节点都是 $V_4$ 的自同构，⽽整体是 $S_3$ 的结构。

我们可以通过连接凯莱图的重布线来构造半直积。重布线只是重新排列了凯莱图的箭头，⽽没有挪动其结点。上图每个结点都是自同构，这样保障了重新布线之后群的乘法表不改变。

上图中外圈同样是半直积 $V_4\rtimes C_3\cong A_4$ ，和直积的一样，逆运算为商运算 $A_4/V_4\cong C_3$ 。

示例：二面体群 $D_n=\langle r,f\rangle$ 都可以写成两个循环群的半直积

$D_n\cong C_n\rtimes C_2$

附录

饰带群

带饰和面饰

前面的定理给出了平面有限等距变换群的完整故事，现在来看一些在装饰和艺术中自然产生的平面无限等距变换群，其中包括离散饰带群。离散的饰带由宽度和高度有限的图案组成，沿基线在两个方向上不停地重复，形成无限长但高度有限的饰带；可以把它想象成房间里天花板旁边墙纸上的一条装饰性边带，考虑那些将每个基本图案变到其自身或变到另一个基本图案的等距变换，所有这些等距变换的集合称为饰带群(frieze group)。可以证明，对饰带群分类时，如果仅根据其是否包含旋转、水平轴反射、竖直轴反射和非平凡滑动反射，那么总共有七种可能性。

数学上，把平⾯上夹在两条平⾏直线中间的部分叫做带，带中的图案叫做带饰，与两条平⾏直线平⾏且到它们的距离相等的直线叫做中轴。

我们仍然⽤平⾯刚体运动来描述带的对称性。带饰可以看做由带饰单元（带饰的⼀部分) 沿中轴⽅向平移⽣成的：若⽤向量 $\mathbf u$ 表示平移的⽅向和⼤⼩， $n\mathbf u (n\in\mathbb{Z})$ 就表示所有的平移，在每个带饰单元中，包含了旋转、反射或平移变换。⼈们经过研究发现，尽管带饰图案千变万化，但这些图案所可能具有的对称群的个数却是有限的，仅有 7 种。下⾯我们就以 7 个简单的带饰为例说明。

可以证明，根据旋转、反射和非平凡滑动反射的分类，共有 17 种不同类型的壁纸图案在这些等距变换下不变。空间中的情况更为复杂，可以证明共有 230 个三维晶体群。

⾯饰是由⼆维⾯饰单元经过两组不同方向的平移 $n\mathbf u$ 和 $m\mathbf v$ 生成的。数学家已经发现⾯饰群共有 17 种。这⼀发现具有重要的实际意义。例如，在进⾏壁纸设计时，只⽤ 17 个计算机程序，就可以设计出各种可能的壁纸图案。

此处没有得出七种不同的群结构。可以证明得到的每个群同构于下面之一：

$\mathbb{Z},D_\infty,\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2,D_\infty\times\mathbb{Z}_2$

可以证明，平面的每个等距变换都是四种类型之一：平移、旋转、反射和滑动反射。

对称群中的非平凡滑动反射不等于群中的平移和反射的乘积

饰带 (g) 的饰带群包含一个非平凡滑动反射，其平移分量不是群中元素。

晶体空间群

晶体的分类

晶体的对称性定律先是在实验上发现的，这里利用空间点阵的结构从数学上证明了它。还可以证明空间点阵可能的点群也只有32种

在⾃然界中，⼏何对称最突出地表现在晶体中。晶体的对称是极其精巧的，例如下图中的 NaCl 晶体和 SiO~2~晶体

晶体可以看成由空间单位格点（晶体原⼦在平衡位置时组成的空间中⼀个有规则的多⾯体) 经过不在同⼀平⾯内的三组平移⽣成的空间格点。晶体几何形状的多样性需要有⼀种能描述其对称性规律的统⼀的表述模式，这就是群。

在 19 世纪后半叶，科学家们发现晶体外形的全部对称形式，也就是使单位格点保持不动的对称群（通常称为对称点群) ，共有 32 种；⽽晶体内部构造的⼀切可能的对称形式，也就是使空间格点不动的对称群（通常称为空间群) ，共有 230 种。32 种对称点群刻画了晶体外形所呈现的全部对称关系。⽽晶体的物理对称性除了外形所显示的，更多的是由其内部原⼦的排列揭示的，230 种空间群刻画了晶体内部原⼦及离子间全部的对称关系。