在本节中采用四维实坐标。设有两个惯性系SS和S′S'，同一事件PP在其中的坐标分别用(x0,x1,x2,x3)(x_0,x_1,x_2,x_3)和(x0′,x1′,x2′,x3′)(x_0',x_1',x_2',x_3')表示。规定第0坐标是时间分量，即

x0=ct0,x0′=ct0′x_0=ct_0,\quad x_0'=ct_0'

规定希腊字母 μ,ν,⋯∈{0,1,2,3}\mu,\nu,\cdots\in\{0,1,2,3\}，拉了字母 i,j,⋯∈{1,2,3}i,j,\cdots\in\{1,2,3\}，并采用爱因斯坦求和约定[1]。

狭义相对论基本原理

狭义相对论原理之一是一切惯性系均等效。这就是说，变换不改变惯性运动的性质，在SS系中以速度uiu_i做匀速直线运动的粒子，在S′S'中观测必定是速度为ui′u_i'的匀速直线运动，即匀速直线运动形式不变。

{xi=xi0+ui(t−t0)xi′=xi0′+ui′(t′−t0′)(1)\begin{cases} x_i=x_{i0}+u_i(t-t_0) \\ x_i'=x_{i0}'+u_i'(t'-t_0') \end{cases}\tag{1}

原理之二是真空中光速恒为 cc

{uiui=c2ui′ui′=c2(2)\begin{cases} u_iu_i=c^2 \\ u_i'u_i'=c^2 \end{cases}\tag{2}

引入中间变量

{βμ=β0uμc(u0=c)S=cβ0(t−t0)(3)\begin{cases} \beta_\mu=\beta_0\cfrac{u_\mu}{c} &(u_0=c) \\ S=\cfrac{c}{\beta_0}(t-t_0) \end{cases}\tag{3}

则条件(1)式变为

{xμ=ξμ+βμSxμ′=ξμ′+βμ′S′(4)\begin{cases} x_\mu=\xi_\mu+\beta_\mu S \\ x_\mu'=\xi'_\mu+\beta_\mu' S' \end{cases}\tag{4}

当μ=0\mu=0时为恒等式，其中ξμ,ξμ′\xi_\mu,\xi'_\mu是xμ,xμ′x_\mu,x_\mu'的初始值。

ξμ=(ct0,xi0),ξμ′=(ct0′,xi0′)\xi_\mu=(ct_0,x_{i0}),\quad \xi'_\mu=(ct_0',x_{i0}')

故 xμ,ξμ;xμ′,ξμ′x_\mu,\xi_\mu;x_\mu',\xi'_\mu是相互独立无关的，条件(2)式变为

{ημνβμβν=0ημν′βμ′βν′=0(5)\begin{cases} \eta_{\mu\nu}\beta_\mu\beta_\nu=0 \\ \eta_{\mu\nu}'\beta_\mu'\beta_\nu'=0 \end{cases}\tag{5}

其中ημν\eta_{\mu\nu}是由A式定义的闵可夫斯基度规。

我们假设所求惯性系的变换是

xμ′=fμ(x0,x1,x2,x3)(6)x'_\mu=f_\mu(x_0,x_1,x_2,x_3)\tag{6}

fμf_\mu是待求的函数，它要符合条件(1)(2)或(4)(5)的要求。下面分四步求解。

考虑惯性系条件对变换的限制

由惯性系的等价性可知变换(6)的逆变换应当唯一确定，其充要条件是雅可比行列成不等于零

det⁡(∂fν∂xμ)≠0(7)\det(\cfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\mu})\neq 0 \tag{7}

由(4)式的等一式得

dfμdS=dxνdS∂fμ∂xν=βν∂fμ∂xν(8)\tag{8}\cfrac{\mathrm df_\mu}{\mathrm dS}=\cfrac{\mathrm dx_\nu}{\mathrm dS}\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}=\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}

由(4)式的等二式得

dfμ=dxμ′=βμ′dS′=βμ′β0′df0dfμdf0=βμ′β0′=uμ′c=const\mathrm df_\mu=\mathrm dx'_\mu=\beta'_\mu\mathrm dS'=\cfrac{\beta'_\mu}{\beta'_0}\mathrm df_0\\ \cfrac{\mathrm df_\mu}{\mathrm df_0}=\cfrac{\beta'_\mu}{\beta'_0}=\cfrac{u_\mu'}{c}=\text{const}

利用(8)式将上式变形为

βμ′β0′=dfμ/dSdf0/dS=βν∂fμ∂xνβσ∂f0∂xσ=const(9)\tag{9}\cfrac{\beta'_\mu}{\beta'_0}=\cfrac{\mathrm df_\mu/\mathrm dS}{\mathrm df_0/\mathrm dS}=\cfrac{\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}}{\beta_\sigma\cfrac{\partial f_0}{\partial x_\sigma}}=\text{const}

求对数后再求导得

ddS[ln⁡(βν∂fμ∂xν)−ln⁡(βσ∂f0∂xσ)]=0\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dS}[\ln({\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}})-\ln(\beta_\sigma\cfrac{\partial f_0}{\partial x_\sigma})]=0

最会得到

βνβσ∂2fμ∂xν∂xσβν∂fμ∂xν=βνβσ∂2f0∂xν∂xσβν∂f0∂xν(10)\tag{10}\cfrac{\beta_\nu\beta_\sigma\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\nu\partial x_\sigma}}{\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}}=\cfrac{\beta_\nu\beta_\sigma\cfrac{\partial^2 f_0}{\partial x_\nu\partial x_\sigma}}{\beta_\nu\cfrac{\partial f_0}{\partial x_\nu}}

(10)式共有4个等式，它们对独立变量xν,βνx_\nu,\beta_\nu而言为恒等式，所以应当是βν\beta_\nu的有理分式，由(7)式知，联立方程组

βν∂fμ∂xν=0(μ=0,1,2,3)\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}=0\quad (\mu=0,1,2,3)

对于βν\beta_\nu而言仅有零解，但是由于β0>0\beta_0>0，所以βν\beta_\nu不能全为0，亦即(10)式的4个分母βν∂fμ∂xν\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}不能同时为0，假如某分母为零，由(10)式知此分式仍然有限，所以该分子必然同时为零，这仅当分母是分子的因式时才成立。

总之，(10)式中4个分式实际上是βν\beta_\nu的有理整式，令此有理考式等于2βνψν2\beta_\nu\psi_\nu，其中 ψν=ψν(x0,x1,x2,x3)\psi_\nu=\psi_\nu(x_0,x_1,x_2,x_3)，则(10)式化为

βνβσ∂2fμ∂xν∂xσ=2βν∂fμ∂xνβσψσ\beta_\nu\beta_\sigma\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\nu\partial x_\sigma}=2\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}\beta_\sigma\psi_\sigma

上式对βνβσ\beta_\nu\beta_\sigma而言是恒等式，故对某一对(ν,σ)(\nu,\sigma)有

βνβσ∂2fμ∂xν∂xσ=βν∂fμ∂xνβσψσ+βσ∂fμ∂xσβνψν=βνβσ(∂fμ∂xνψσ+∂fμ∂xσψν)\begin{aligned} \beta_\nu\beta_\sigma\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\nu\partial x_\sigma} &=\beta_\nu\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}\beta_\sigma\psi_\sigma +\beta_\sigma\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\sigma}\beta_\nu\psi_\nu \\ &=\beta_\nu\beta_\sigma(\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}\psi_\sigma+\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\sigma}\psi_\nu) \end{aligned}

式中重复指标不求和，最后得到

∂2fμ∂xν∂xσ=∂fμ∂xνψσ+∂fμ∂xσψν(11)\tag{11}\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\nu\partial x_\sigma}=\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}\psi_\sigma+\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\sigma}\psi_\nu

上式说明，若匀速直线运动在变换下保持不变，则函数fμf_\mu应当满足此偏微分方程，但不一定是线性变换。

考虑光速不变性对变换的限制

利用(9)式可把(5)式的第二式化为

ημνβμ′βν′=ημνβσβλ∂fμ∂xσ∂fν∂xλ=0\eta_{\mu\nu}\beta'_{\mu}\beta'_\nu=\eta_{\mu\nu}\beta_{\sigma}\beta_\lambda \cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\sigma}\cfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\lambda}=0

由(5)式的第一式，可知上式也应当等于

ησλβσβλ=0\eta_{\sigma\lambda}\beta_\sigma\beta_\lambda=0

故上两式中βνβσ\beta_\nu\beta_\sigma的二次式系数应成正比，令其为某一函数 λ(x0,x1,x2,x3)\lambda(x_0,x_1,x_2,x_3) ，则得

ημν∂fμ∂xα∂fν∂xβ=ληαβ(12)\eta_{\mu\nu}\cfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\alpha}\cfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\beta}=\lambda\eta_{\alpha\beta}\tag{12}

(12)式对xρx_\rho微分并令∂λ∂xρ=2λφρ\cfrac{\partial\lambda}{\partial x_\rho}=2\lambda\varphi_\rho，则有

ημν(∂2fμ∂xρ∂xα∂fν∂xβ+∂2fμ∂xρ∂xβ∂fν∂xα)=2ληαβφρ\eta_{\mu\nu}(\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\rho\partial x_\alpha}\cfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\beta}+\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\rho\partial x_\beta}\cfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\alpha} )=2\lambda\eta_{\alpha\beta}\varphi_\rho

以(11)式取代上式中的二阶导数，再利用(12)式得

2ηαβψρ+ηραψβ+ηρβψα=2ηαβφρ2\eta_{\alpha\beta}\psi_\rho+\eta_{\rho\alpha}\psi_\beta+\eta_{\rho\beta}\psi_\alpha=2\eta_{\alpha\beta}\varphi_\rho

上式对任意α,β,ρ\alpha,\beta,\rho均恒等，令ρ≠α,ρ≠β(ηρα=ηρβ=0)\rho\neq\alpha,\rho\neq\beta\quad (\eta_{\rho\alpha}=\eta_{\rho\beta}=0)得

ψρ=φρ(ρ=0,1,2,3)\psi_\rho=\varphi_\rho\quad(\rho=0,1,2,3)

再令ρ=α=β\rho=\alpha=\beta，得 ψρ=φρ\psi_\rho=\varphi_\rho，联立上式可知

ψρ=φρ=0(ρ=0,1,2,3)\psi_\rho=\varphi_\rho=0\quad(\rho=0,1,2,3)

以及

∂λ∂xρ=2λφρ=0,λ=const\cfrac{\partial\lambda}{\partial x_\rho}=2\lambda\varphi_\rho=0,\quad\lambda=\text{const}

于是 (11) 式化为

∂2fμ∂xα∂xβ=0(13)\cfrac{\partial^2 f_\mu}{\partial x_\alpha\partial x_\beta}=0\tag{13}

此即变换函数所应满足的条件，即线性条件。
所以，上而两式证明了惯性系之间满足狭义相对的原理(1)(2)要求的时空坐标变换一定是线性变换。

确定线性变换的形式

由(12)式知道，fμf_\mu中应含有因子λ\sqrt{\lambda}，令线性变换为

xμ′=fμ=λ(aμ+ηννaμνxν)(14)x'_\mu =f_\mu=\sqrt{\lambda}(a_\mu+\eta_{\nu\nu}a_{\mu\nu}x_\nu)\tag{14}

这里及以下的ηνν\eta_{\nu\nu}只是一个符号，即

η00=1,η11=η22=η33=−1\eta_{00}=1,\quad\eta_{11}=\eta_{22}=\eta_{33}=-1

引入该符号可以使得表述简洁，将(14)式代入(12)式得

{ημνaμαaνβ=ηαβημνaαμaβν=ηαβ(15)\begin{cases} \eta_{\mu\nu}a_{\mu\alpha}a_{\nu\beta}=\eta_{\alpha\beta} \\ \eta_{\mu\nu}a_{\alpha\mu}a_{\beta\nu}=\eta_{\alpha\beta} \end{cases}\tag{15}

此即aμνa_{\mu\nu}应满足的正交条件。

利用正交条件由(14)式解出

xμ=ηννaνμ(xν′λ−aν)(16)x_\mu=\eta_{\nu\nu}a_{\nu\mu}(\cfrac{x'_\nu}{\sqrt \lambda}-a_\nu)\tag{16}

从SS系看S′S'系中的固定点 dxi′=0\mathrm dx'_i=0以速度viv_i运动，由 (16) 式得

dxi=1λa0idx0′,dx0=1λa00dx0′\mathrm dx_i=\cfrac{1}{\sqrt\lambda}a_{0i}\mathrm dx'_0,\quad \mathrm dx_0=\cfrac{1}{\sqrt\lambda}a_{00}\mathrm dx'_0

所以

vic=dxidx0=a0ia00\cfrac{v_i}{c}=\cfrac{\mathrm dx_i}{\mathrm dx_0}=\cfrac{a_{0i}}{a_{00}}

上式表明示惯性系SS和S′S'之间的相对速度λ\lambda无关。如令vi=0v_i=0 ，即SS和S′S'重合而无运动。但是利用正交条件(15)式，由(14)式可得

ημνdxμ′dxν′=ληαβdxαdxβ(17)\eta_{\mu\nu}\mathrm dx'_\mu\mathrm dx'_\nu=\lambda\eta_{\alpha\beta}\mathrm dx_\alpha\mathrm dx_\beta\tag{17}

令 dxi′=0\mathrm dx'_i=0，则有

dx0′2=λdx02(1−v2c2)\mathrm dx_0^{'2}=\lambda\mathrm dx_0^2(1-\cfrac{v^2}{c^2})

当 v=0v=0 时，应该 dx0′=dx0′\mathrm dx'_0=\mathrm dx'_0 ，故系数 λ=1\lambda=1。于是 (17) 式表示为 dxμ\mathrm dx_\mu 得二次齐式

ds2=ημνdxμdxν=ηαβdxα′dxβ′(18)\mathrm ds^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\nu=\eta_{\alpha\beta}\mathrm dx'_\alpha\mathrm dx'_\beta\tag{18}

这就是时空间隔不变性，正好是闵可夫斯基空间时空度规的显示式。将λ=1\lambda=1代入(14)和(16)式，就成为

{xμ′=aμ+ηννaμνxνxμ=ηννaνμ(xν′−aν)(19)\begin{cases} x'_\mu =a_\mu+\eta_{\nu\nu}a_{\mu\nu}x_\nu \\ x_\mu=\eta_{\nu\nu}a_{\nu\mu}(x'_\nu-a_\nu) \end{cases}\tag{19}

(19) 式就是惯性系间的一般洛伦兹变换。

至此我们严格证明了：惯性系之间所容许的时空坐标变换为一般洛伦兹变换；采用实数时间生标时，闵可夫斯基空间的度规为伪欧几里得空间度规。

根据正交归一化条件确定变换系数

先令 t=0t=0 时 t′=0t'=0，则原点 OO 与 O′O' 重合，则 aμ=0a_\mu=0 （如果是坐标微分变换 dxμ→dxμ′\mathrm dx_\mu \to \mathrm dx'_\mu，这一条件可取消），于是 (19)式化为

{xμ′=ηννaμνxνxμ=ηννaνμxν′(20)\begin{cases} x'_\mu =\eta_{\nu\nu}a_{\mu\nu}x_\nu \\ x_\mu=\eta_{\nu\nu}a_{\nu\mu}x'_\nu \end{cases}\tag{20}

再设 S′S' 系相对于SS系以速度viv_i做惯性运动，则从SS系观测，S′S'系的固定点（dxi′=0\mathrm dx'_i=0）的速度为 viv_i；又在S′S'系观测，SS系的固定点（dxi′=0\mathrm dx'_i=0）以速度vi′v'_i运动，故从上式得

{a00vi=a0ica00vi′=ai0c(21)\begin{cases} a_{00}v_i=a_{0i}c \\ a_{00}v'_i=a_{i0}c \end{cases}\tag{21}

另外，根据实践我们引入单向顺时性条件，此条件要求洛伦兹变换不改变时间进程的方句，即

a00=∂t′∂t>0(22)a_{00}=\cfrac{\partial t'}{\partial t}>0\tag{22}

根据上面两式和正交规一化条件(15)式即可确定变换系数。
在(15)式中令 α=β=0\alpha=\beta=0 得

{a002−(a102+a202+a302)=1a002−(a012+a022+a032)=1(23)\begin{cases} a_{00}^2-(a_{10}^2+a_{20}^2+a_{30}^2)=1 \\ a_{00}^2-(a_{01}^2+a_{02}^2+a_{03}^2)=1 \end{cases}\tag{23}

将(21)式代入(23)式可得

vi′vi′=vivi=v2(24)v'_iv'_i=v_iv_i=v^2 \tag{24}

尽管两坐标系相对速度的分量不同，但速度的大小是相等的，这一点和直观相符合，考虑到条件(22)式，由(21)和(23)两式可以解出变换系数为

{a00=11−v2c2=γa0i=γvicai0=γvi′c(25)\begin{cases} a_{00}=\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma \\ a_{0i}=\gamma\cfrac{v_i}{c} \\ a_{i0}=\gamma\cfrac{v'_i}{c} \end{cases}\tag{25}

当(15)式中的α,β\alpha,\beta 一个为0时，利用(25)式中的 a0i,ai0a_{0i},a_{i0} 推导出

{a00vi′=aikvka00vi=akivk′(26)\tag{26}\begin{cases} a_{00}v'_i=a_{ik}v_{k} \\ a_{00}v_i=a_{ki}v'_{k} \end{cases}

当(15)式中的α,β\alpha,\beta 均不为0时，又得

akiakj=−ηij+a0ia0j=δij+γ2vivjc2(27)\tag{27}a_{ki}a_{kj}=-\eta_{ij}+a_{0i}a_{0j}=\delta_{ij}+\gamma^2\cfrac{v_iv_j}{c^2}

定义

dik=−aik+ai0a0ka00+1=−aik+(γ−1)vi′vkv2(28)\tag{28}d_{ik}=-a_{ik}+\cfrac{a_{i0}a_{0k}}{a_{00}+1}=-a_{ik}+(\gamma-1)\cfrac{v'_iv_k}{v^2}

根据上面三式得到

{dikvk=−vi′dikvi′=−vkdkidkj=δij(29)\begin{cases} d_{ik}v_k=-v'_i \\ d_{ik}v'_i=-v_k \\ d_{ki}d_{kj}=\delta_{ij} \end{cases}\tag{29}

故所定义的 dikd_{ik} 乃是三维空间的正交变换矩阵，如果坐标系对应平行，则 dij=δijd_{ij}=\delta_{ij}，(29)式的第一式和第二式成为

δikvk=vi=−vi′,δikvi′=vk′=−vk\delta_{ik}v_k=v_i=-v'_i,\quad \delta_{ik}v'_i=v'_k=-v_k

综合(25)(26)(28)式，我们终于求得一般固有洛伦兹变换的系数为

{a00=γa0i=γvicai0=−γdijvicaik=−dik−(γ−1)dijvjvkv2(30)\begin{cases} a_{00}=\gamma \\ a_{0i}=\gamma\cfrac{v_i}{c} \\ a_{i0}=-\gamma\cfrac{d_{ij}v_i}{c} \\ a_{ik}=-d_{ik}-(\gamma-1)\cfrac{d_{ij}v_jv_k}{v^2} \end{cases}\tag{30}

固有洛伦兹变换

讨论如下：

(1) 如果 SS 和 S′S' 系的坐标轴对应平行，即不存在空间转动或反射，这时的正交变换矩阵为单位矩阵 （ dij=δijd_{ij}=\delta_{ij}），再设坐标系的相对速度沿 x1(x1′)x_1(x'_1) 轴方向，即 v1=v,v2=v3=0v_1=v,v_2=v_3=0，对变换系数简化为（记作aˉ\bar a）

{aˉ00=−aˉ11=γaˉ01=−aˉ10=γvcaˉ22=aˉ33=−1(31)\begin{cases} \bar a_{00}=-\bar a_{11}=\gamma \\ \bar a_{01}=-\bar a_{10}=\gamma\cfrac{v}{c} \\ \bar a_{22}=\bar a_{33}=-1 \end{cases}\tag{31}

其余变换系数为0。带入 (20) 式即得到特殊洛伦兹变换式。

(2) 如果 SS 和 S′S' 系的坐标轴对应平行（ dij=δijd_{ij}=\delta_{ij}），但坐标系的相对速度沿任意方向，则变换系数简化为（记作aˉ\bar a）

{aˉ00=γaˉ0i=−aˉi0=γvicaik=−δik−(γ−1)vivkv2(32)\begin{cases} \bar a_{00}=\gamma \\ \bar a_{0i}=-\bar a_{i0}=\gamma\cfrac{v_i}{c} \\ a_{ik}=-\delta_{ik}-(\gamma-1)\cfrac{v_iv_k}{v^2} \end{cases}\tag{32}

带入 (20) 式即得无空间转动的固有洛伦兹变换式。

{xˉk=xk+vk[(γ−1)vixiv2−γt]tˉ=γ(t−vixic2)(33)\tag{33}\begin{cases} \bar x_k=x_k+v_k[(\gamma-1)\cfrac{v_ix_i}{v^2}-\gamma t] \\ \bar t=\gamma(t-\cfrac{v_ix_i}{c^2}) \end{cases}

(3) 如果 SS 和 S′S' 系的坐标轴不是对应平行，可对上式的空间坐标再作一次三维空间转动或反射变换 dijdij

xi′=dikxˉk=dikxk+dikvk[(γ−1)vixiv2−γt]=dikxk+vi′[(γ−1)vixiv2−γt](34)\tag{34}\begin{aligned} x'_i&=d_{ik}\bar x_k=d_{ik}x_k+d_{ik}v_k[(\gamma-1)\cfrac{v_ix_i}{v^2}-\gamma t] \\ &=d_{ik}x_k+v'_i[(\gamma-1)\cfrac{v_ix_i}{v^2}-\gamma t] \end{aligned}

其中利用了(29)式，事实上，因为

xi′=dikxˉk=dik(ηννaˉkνxν)=ηννaiνxνx'_i=d_{ik}\bar x_k=d_{ik}(\eta_{\nu\nu}\bar a_{k\nu}x_\nu)=\eta_{\nu\nu}a_{i\nu}x_\nu

其中 aˉkν\bar a_{k\nu} 由(32)式给出，aiν=dikaˉkνa_{i\nu}=d_{ik}\bar a_{k\nu}即为(30)式。这个过程相当于分两步进行

S(xμ)→Sˉ(xˉμ)→S′(xμ′)S(x_\mu)\to\bar S(\bar x_\mu)\to S'(x'_\mu)

S→SˉS\to\bar S代表空间坐标轴无转动且无反射的洛伦兹变换；Sˉ→S′\bar S\to S'代表纯空间轴的转动或反射变换，令 DD 代表正交变换矩阵 dikd_{ik}，则一般固有洛伦兹变换为

{x=Dx−v′[(γ−1)v⋅xv2−γt]t′=γ(t−v⋅xc2)(34)\begin{cases} \mathbf x=D\mathbf x-\mathbf v'[(\gamma-1)\cfrac{\mathbf{v\cdot x}}{v^2}-\gamma t] \\ t'=\gamma(t-\cfrac{\mathbf{v\cdot x}}{c^2}) \end{cases}\tag{34}

附录

(1) 欧几里得空间的任意一点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3) 相对于原点的失径为

x=x1e1+x2e2+x3e3=xiei\mathbf x=x_1\mathbf e_1+x_2\mathbf e_2+x_3\mathbf e_3=x_i\mathbf e_i

式中 (e1,e2,e3)(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3) 是沿坐标轴的单位矢量，称作基矢。对上式两边微分（注意在笛卡尔坐标系中 dei=0\mathrm d\mathbf e_i=0 ），可知

dx=∂x∂xidxi=dxiei\mathrm d\mathbf x=\cfrac{\partial\mathbf x}{\partial x_i}\mathrm dx_i =\mathrm dx_i\mathbf e_i

所以基矢实际上就是矢径对坐标的偏导

ei=∂x∂xi(i=1,2,3)\mathbf e_i=\cfrac{\partial\mathbf x}{\partial x_i}\quad (i=1,2,3)

根据偏导的几何意义，可知笛卡尔基矢的内积满足

ei⋅ej=δij={1(i=j)0(i≠j)\mathbf e_i\cdot \mathbf e_j=\delta_{ij}=\begin{cases} 1 &(i=j) \\ 0 &(i\neq j) \end{cases}

δij\delta_{ij} 是克罗内克符号，它的9个分量构成 3×33\times 3 单位矩阵

δij=(100010001)\delta_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

设 A(xi)A(x_i) 和 B(xi+dxi)B(x_i+\mathrm dx_i) 是三维欧几里得空间中的作意两个相邻的点，两个矢径xA,xB\mathbf x_A,\mathbf x_B的矢量差

dx=dx1e1+dx2e2+dx3e3=dxiei∣dx∣2=dx⋅dx=(ei⋅ej)dxidxj\mathrm d\mathbf x=\mathrm dx_1\mathbf e_1+\mathrm dx_2\mathbf e_2+\mathrm dx_3\mathbf e_3=\mathrm dx_i\mathbf e_i \\ |\mathrm d\mathbf x|^2=\mathrm d\mathbf x\cdot \mathrm d\mathbf x=(\mathbf e_i\cdot\mathbf e_j)\mathrm dx_i\mathrm dx_j

当 dxi→0\mathrm dx_i\to 0 时，两点的弧长 dl\mathrm dl 与矢量差的大小 ∣dx∣|\mathrm d\mathbf x| 相等，故有

dl2=δijdxidxj=dxidxi\mathrm dl^2=\delta_{ij}\mathrm dx_i\mathrm dx_j=\mathrm dx_i\mathrm dx_i

这就是欧几里得线元，即无穷小弧长，而 δij\delta_{ij} 又称作欧几里得度规。

(2) 将时时间坐标取为 x0=ctx_0=ct，四维闵可夫斯基时空坐标统一记作

(x0,x1,x2,x3)=(ct,x)(x_0,x_1,x_2,x_3)=(ct,\mathbf x)

根据时空间隔不变性，任意两个邻近的时空点P(xμ)P(x_\mu) 和 Q(xμ+dxμ)Q(x_\mu+\mathrm dx_\mu) 的时空间隔为

ds2=dx02−dx12−dx22−dx32=ημνdxμdxν\mathrm ds^2=\mathrm dx_0^2-\mathrm dx_1^2-\mathrm dx_2^2-\mathrm dx_3^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\nu

式中

ημν=(10000−10000−10000−1)(μ,ν=0,1,2,3)\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad(\mu,\nu=0,1,2,3)

时空间隔dsds 叫做闵可夫斯基线元，ημν\eta_{\mu\nu} 叫做闵可夫斯基度规。

(3) 狭义相对论中还采取另外一种复欧几里得坐标，即把时间坐标取成复数 x4=ictx_4=\mathrm ict，并将空间和时间坐标统一记作

(x1,x2,x3,x4)=(x,ict)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(\mathbf x,\mathrm ict)

由此构成的时空连续域 {xμ∣μ=1,2,3,4}\{x_\mu|\mu=1,2,3,4\}称作（复）闵可夫斯基时空。在闵可夫斯基时空坐标下 (xμ)(x_\mu)，时空间隔式成为

ds2=−δμνdxμdxν=−dxμdxμ\mathrm ds^2=-\delta_{\mu\nu}\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\nu=-\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\mu

其中的二阶张量

δμν=(1000010000100001)(μ,ν=1,2,3,4)\delta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad(\mu,\nu=1,2,3,4)

就是四维欧几里得度规。

  1. 所谓Einstein求和约定就是略去求和式中的求和号。在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，有时亦称求和的指标为哑指标。例如：aibi=∑i=13aibi,aμbμ=∑i=03aμbμ\displaystyle a_ib_i=\sum_{i=1}^3a_ib_i,\quad a_\mu b_\mu=\sum_{i=0}^3a_\mu b_\mu ↩︎